Układ równań liniowych – układ równań postaci:
\[\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&a_{13}x_3&+&\cdots&+&a_{1n}x_n& = b_1\\ a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&a_{23}x_3&+&\cdots&+&a_{2n}x_n& = b_2\\ a_{31}x_1&+&a_{32}x_2&+&a_{33}x_3&+&\cdots&+&a_{3n}x_n& = b_3\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&a_{m3}x_3&+&\cdots&+&a_{mn}x_n& = b_m \end{matrix}\right. \]
gdzie ai, j są elementami danego ciała K, a xi niewiadomymi.

Pojęcia

Układ powyższy nazywamy układem m równań liniowych o n niewiadomych. skalary aij nazywamy współczynnikami układu, skalary bi to wyrazy wolne. Rozwiązaniem układu nazywamy dowolną n-kę (r1, r2, ..., rn) elementów ciała K, które po podstawieniu w miejsce xi do powyższych równań dają równości prawdziwe.

Przykład

Oto przykład układu dwóch równań z trzema niewiadomymi:
\[\left\{\begin{matrix} 2x&+&3y&+&z&=&2\\ ~&~&y&-&2z&=&-4\\ \end{matrix}\right. \]
Jest tu: a11 = 2, a12 = 3, a13 = 1, a21 = 0, a22 = 1, a23 = -2. Wyrazami wolnymi są liczby 2 i -4. Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, jednym z nich jest liczba trójka: x = 0, y = 0, z = 2.

Macierz główna układu

Z danym układem równań związane są dwie ważne macierze. Jedną z nich jest macierz główna układu równań, czyli po prostu macierz współczynników:
\[A=\left[\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}\right] \]

Macierz rozszerzona układu

Macierz rozszerzona powstaje z macierzy głównej przez dołącznienie do niej kolumny wyrazów wolnych, którą często oddziela się pionową linią:
\[U=\left[\left.\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots&a_{3n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots&a_{mn}\\ \end{matrix}\right|\begin{matrix}b_1\\b_2\\b_3\\\vdots\\b_m\end{matrix}\right] \]

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Sprawę rozwiązalności układu równań wyjaśnia podstawowe twierdzenie Kroneckera-Capellego:
Układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej.
Jeżeli rzędy te są równe ilości niewiadomych, to układ ma dokładne jedno rozwiązanie.
Jeżeli rzędy te są równe, ale mniejsze od ilości niewiadomych, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n – r parametrów; gdzie n – liczba niewiadomych, r – rzędy macierzy głównej i uzupełnionej.
Występują problemy z odmianą nazwiska Capelli. Część źródeł podaje wersję twierdzenie Kroneckera-Capelliego, która jednak jest niepoprawna. Nazwiska włoskie kończące się na -li odmienia się pomijając literę i (w przeciwieństwie do np. nazwisk niemieckich).
Więcej: Słownik ortograficzny PWN >> Nazwiska włoskie
W podanym przykładzie mamy:
\[\mathrm{rz}\left[\begin{matrix} 2&3&1\\ 0&1&-2\\ \end{matrix}\right]=2\qquad\mathrm{oraz}\qquad\mathrm{rz}\left[\begin{matrix} 2&3&1&2\\ 0&1&-2&-4\\ \end{matrix}\right]=2 \]
i wiadomo już, że układ ma rozwiązanie.

Układ jednorodny

Jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe 0, to układ równań nazywamy jednorodnym. Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie. Zbiór rozwiązań układu jednorodnego tworzy przestrzeń liniową nad ciałem K. Jest ona podprzestrzenią liniową przestrzeni Km, złożonej z wszystkich uporządkowanych układów m skalarów (x1, x2, ..., xm).

Układ kwadratowy

Jeżeli n = m układ równań nazywamy kwadratowym.

Rozstrzyganie rozwiązalności układu kwadratowego metodą wyznaczników

Jeżeli wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, to układ jest układem Cramera, czyli ma jednoznaczne rozwiązanie (jest oznaczony). Rozwiązanie to określają wzory Cramera.
Przez Ai oznacza się macierz otrzymaną przez zamianę w macierzy głównej układu i-tej kolumny na kolumnę wyrazów wolnych układu równań:
\[A_i=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1\ i-1} & b_{1} & a_{1\ i+1} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2\ i-1} & b_{2} & a_{2\ i+1} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n\ i-1} & b_{n} & a_{n\ i+1} & \dots & a_{nn} \end{bmatrix} \]
Jeżeli wyznacznik macierzy głównej układu jest równy zero, to:
  • jeżeli wszystkie wyznaczniki macierzy Ai się zerują, to układ jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań;
  • jeżeli przynajmniej jeden wyznacznik macierzy Ai się nie zeruje, to układ jest sprzeczny, czyli nie ma rozwiązania.
Zapisując w sposób symboliczny:
\[detA\ne0 \iff \] układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie
\[detA=0 \land \forall i\in\left\{1,\dots,n\right\}\ detA_i=0\iff \] układ posiada nieskończenie wiele rozwiązań
\[detA=0 \land \exists i\in\left\{1,\dots,n\right\}\ detA_i\ne0\iff \] układ nie posiada rozwiązań

Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.