Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.
Intuicja płaszczyzny wpajana jest człowiekowi kultury zachodniej od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru, powierzchni stołu, czy płaskiego pola rozciągających się "w nieskończoność".
W wielu innych geometriach, na przykład geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Własności

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii aboslutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów.
  • przez trzy różne punkty przestrzeni przechodzi tylko jedna płaszczyzna
    • przez daną prostą i punkt nie leżący na niej przechodzi tylko jedna płaszczyzna
    • przez dwie proste przecinające się w jednym punkcie przechodzi tylko jedna płaszczyzna
  • prosta przechodząca przez dwa różne punkty płaszczyzny zawiera się w tej płaszczyźnie
  • jeśli dwie płaszczyzny mają jeden punkt wspólny, to mają również drugi punkt wspólny
  • płaszczyzna jest zbiorem punktów przestrzeni jednakowo oddalonych od dwu ustalonych punktów
  • każdy punkt płaszczyzny należy do nieskończenie wielu prostych
  • każda płaszczyzna dzieli przestrzeń na dwa obszary, których częścią wspólną jest ta właśnie płaszczyzna
Obszary te nazywamy półprzestrzeniami – płaszczyzna jest brzegiem każdego z tych obszarów.
  • każda prosta zawarta w płaszczyźnie dzieli ją na dwie części
Części te nazywane półpłaszczyznami. Dana prosta jest brzegiem każdej z dwu półpłaszczyzn.
  • prosta w przestrzeni może:
    • nie mieć punktów wspólnych z daną płaszczyzną – nazywamy ją wtedy równoległą do płaszczyzny
    • mieć jeden punkt wspólny
    • być zawarta w tej płaszczyźnie

Płaszczyzna euklidesowa

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik lub XI aksjomat Euklidesa):
przezez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, można poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,
to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

Opis w przestrzeni R3

R3 jest modelem dla geometrii euklidesowej i poniższy opis dotyczy oczywiście płaszczyzny euklidesowej.

Równanie ogólne

W przestrzeni euklidesowej R3 płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych zależność:
Ax + By + Cz + D = 0, przy czym liczby A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zeru.
Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor B, C jest wektorem normalnym do tej płaszczyzny.

Równanie normalne

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:
αx + βy + γz + δ = 0, gdzie α2 + β2 + γ2 = 1.
Liczby α, β, γ interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:
\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}y+ \]\[\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}z+\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0 \]

Równanie odcinkowe

Do opisu płaszczyzny można też użyć równania odcinkowego:
\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1. \]
Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu x o współrzędnych (x0, y0, z0) od płaszczyzny P zadanej równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0 obliczamy ze wzoru:
\[d(x, P)=\fracAx_0+By_0+Cz_0+D{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.