Aby opisać grupę, często podaje się jedynie kilka jej elementów, z których można wyprowadzić wszystkie inne elementy za pomocą działania grupowego. Zbiór takich elementów nazywa się zbiorem generatorów. Istnieje pewne podobieństwo definicji zbioru generatorów do definicji bazy przestrzeni wektorowej.
Jeżeli L jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową, w której zdefiniowane jest mnożenie generowane przez komutator ([1]=A B - B A),
\[(A,B) \rightarrow [2] \]
to nazywamy ją algebrą Liego, gdy spełnione sa warunki : Algebra Liego rozpięta jest n zbiorze liniowo niezależnych elementów (zbioru generatorów) \[X=x^i e_i \]. Algebra ta zdefiniowana jest przez wszystkie możliwe komutatory generatorów
\[[11]= \sum_k f_{ijk}e_k. \]
Współczynniki \[f_{ijk} \] nazywamy stałymi strukturalnymi. Jeżeli wszystkie komutatory są równe zero, to algebra (grupa) jest zwana abelową (przemienną).
Przykład: przesunięcia w przestrzeni trójwymiarowej.
Zbiór generatorów ma trzy elementy: przesunięcie jednostkowe w kierunku osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez X, Y, Z. Algebra Liego tej grupy to:
Y = Z = X = 0
Jest to grupa abelowa.
Przykład: obroty w przestrzeni trójwymiarowej.
Zbiór generatorów ma trzy elementy: obrót jednostkowy w prawo wokół osi Ox, Oy i Oz. Oznaczmy je przez \[e_1 \], \[e_2 \], \[e_3 \]. Algebra Liego tej grupy:
\[e_2 = e_3 \]
\[e_3 =e_1 \]
\[e_1 = e_2 \]
Stałe strukturale \[f_{i,j,k}=\epsilon_{i,j,l} \] okresłone są przez symbol Levi-Civity (1,-1 gdy jest to parzysta lub nieparzysta permutacja (1 2 3) lub 0 gdy któryś z wskaźników sie powtarza).
Jeżeli obrócimy układ o 90° w prawo wokół osi Ox, 90° w prawo wokół osi Oy, 90° w lewo wokół osi Ox, 90° w lewo wokół osi Oy, to nie wrócimy do punktu wyjścia. Układ będzie obrócony o 90° w lewo wokół osi Oz i 90° w lewo wokół osi Oy. Zatem nie jest to grupa abelowa.
Przykład: algebra SU(2)
Zbiór bezśladowych macierzy 2x2 (Tr(X)=0) rozpięty jest na trzech macierzach Pauliego \[\sigma_i \], które definiują (spin). Generatory algebry to:
\[e_i=-\frac{1}{2}i \sigma_i \]

Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.