Czytaj więcej"/> Drukuj
Wielkie twierdzenie Fermata to twierdzenie, które brzmi następująco:
dla liczby naturalnej n > 2, nie istnieją takie liczby naturalne dodatnie x, y, z, które spełniałyby równanie xn + yn = zn.
Fermat zanotował je na marginesie łacińskiego tłumaczenia książki Arithmetica Diofantosa, którego metodami matematycznymi się interesował. Opatrzył je następującą uwagą:
znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały dla zapisania dowodu.

Odnalezione po śmierci Fermata w jego pismach, twierdzenie zostało opublikowane w roku 1670.
Intrygująca notatka na marginesie stała się wyzwaniem dla kolejnych pokoleń matematyków – wiadomo bowiem było, że wiele twierdzeń pozostawionych przez Fermata bez dowodu okazało się prawdziwych, a ich dowody zostały znalezione przez innych. To jedno przez ponad 300 lat opierało się próbom dowodu w ogólności – znane były jedynie dowody szczególnych przypadków. Dlatego też zwane było ostatnim twierdzeniem Fermata.
Dowód, którego Fermat nie podał z braku miejsca, ostatecznie został przeprowadzony przez angielskiego matematyka Andrew Johna Wilesa dopiero w roku 1994, co było jedną z największych sensacji naukowych XX wieku. Zajmował ok. 200 stron A4, a sama treść dowodu używała skomplikowanego i abstrakcyjnego języka topologii i krzywych eliptycznych.
W rzeczywistości dowód twierdzenia Fermata przeprowadzony przez Wilesa ma dosyć długą historię, a jego głównymi elementami było postawienie w 1955 przez Yutaka Taniyama pewnych pytań na temat funkcji eliptycznych, późniejsze prace wraz André Weila (nie mylić z Andrew Wilesem) i Shimurą i postawiona przez nich Hipoteza Shimury-Taniyamy-Weila. W 1986 udowodniono, że istnieje połączenie miedzy tą hipotezą, a twierdzeniem Fermata przez Gerharda Frey'a z Saarbrücken. Późniejsze prace matematyków pokazały, że gdyby twierdzenie Fermata było fałszywe to i Hipoteza Shimury-Taniyamy-Weila byłaby fałszywa.
Tu wkroczył Wiles i udowodnił hipotezę STW. Na wykładach w dniach 21, 22 i 23 lipca 1993 roku przedstawił dowód tej hipotezy w kilku przypadkach, w tym wymaganych do udowodnienia Wielkiego Twierdzenia Fermata. Oszołomionej sali słuchaczy (ponieważ nie znali tematyki wykładu) nie pozostało nic jak nagrodzić oklaskami na stojąco matematyka, który rozwiązał problem nie poddający się dowodom przez 250 lat. Niestety pod koniec tego roku wykryto w rozumowaniu Wilesa luki, które po dwóch latach pracy udało się uzupełnić.
Wielu matematyków nadal szuka klasycznego (bez odwołań do topologii) dowodu WTF, ocenia się że już zrobiono ok. 1% postępu przy dowodzie analitycznym. Istnieją dowody dla wybranych n, rozpoczęte przez takie wielkie sławy matematyki jak Euler (n = 3), Dirichlet (n = 5, n = 14), Lame (n = 7), i inni. Późniejsze prace innych matematyków i obliczenia numeryczne pozwoliły udowodnić WTF dla wszystkich n < 1,000,000.

Równoważna postać twierdzenia

Równoważną postać tego twierdzenia otrzymamy, gdy zezwolimy także na ujemne liczby całkowite x, y i z (ale nie zero!)
dla liczby naturalnej n > 2, nie istnieją takie liczby całkowite niezerowe x, y, z, które spełniałyby równanie xn + yn = zn.

Dowód: Dla n parzystego otrzymujemy natychmiast poprzednią postać twierdzenia. Dla n nieparzystego w każdym przypadku można równanie xn + yn = zn, gdzie x,y,z są niezerowe przekształcić do postaci
Xn + Yn = Zn(1)
lub
Xn + Yn + Zn=0(2)

gdzie X>0, Y>0, Z>0.
(1) to standardowa postać Wielkiego Twierdzenia Fermata, podana na początku tego artykułu, a (2) to równanie sprzeczne.
znak xznak yznak zXYZpostać równania
+++X=xY=yZ=z(1)
++-X=xY=yZ=-z(2)
+-+X=zY=-yZ=x(1)
+--X=xY=-zZ=-y(1)
-++X=zY=-xZ=y(1)
-+-X=-zY=yZ=-x(1)
--+X=-xY=-yZ=z(2)
---X=-xY=-yZ=-z(1)

Dowód przejścia w drugą stronę jest trywialny.
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-07-24 17:05:16