Czytaj więcej"/> Drukuj
Nazwę twierdzenie Pitagorasa nosi następujący fakt z geometrii euklidesowej:
w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych równa jest kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
Twierdzenie_Pitagorasa -
Oto interpretacja geometryczna: jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku obok: suma pól kwadratów "niebieskiego" i "zielonego" jest równa polu kwadratu "różowego."
Odkrycie tego twierdzenia w naszym (zachodnio-europejskim) kręgu kulturowym przypisywane jest żyjącemu w VI wieku p.n.e. greckiemu matematykowi i filozofowi Pitagorasowi, chociaż niemal pewne jest, że znali je przed nim starożytni egipcjanie. Wiadomo też, że jeszcze przed Pitagorasem znano je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii.

Dowody twierdzenia

Liczba istotnie różnych dowodów twierdzena Pitagorasa jest przytłaczająca, według niektórych źródeł przekracza 350. Euklides w Elementach podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków i pojawiają aż po dni dzisiejsze.
Niektóre z dowodów są czysto algebraiczne (jak dowód z podobieństwa trójkątów), inne mają formę układanek geometrycznych (prawdopodobny dowód Pitagorasa), jeszcze inne oparte są o równości pól pewnych figur. Zaprezentujemy tu jedynie kilka wybranych dowodów, do innych podajemy odsyłacze na końcu artykułu.

Dowód układanka

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach a, b i c jak powyżej. Umieszczamy jego kopię tak, żeby jej bok a był w jednej linii z bokiem b pierwszego trójkąta, a boki c tworzyły kąt prosty (jest to możliwe, bo kąty w trójkącie sumują się do podwojonego kąta prostego). Następnie ustawiamy bok a trzeciego trójkąta w jednej linii z bokiem b drugiego, znów tak, aby boki c tworzyły kąt prosty. Domykamy kwadrat o boku a+b, umieszczając bok a czwartego trójkąta w linii z bokiem b trzeciego.
Twierdzenie_Pitagorasa -

Z jednej strony pole powierzchni tego kwadratu to (a+b)2, bo a+b jest długością jego boku. Z drugiej strony, kwadrat utworzony jest przez cztery przystające trójkąty, każdy o polu ab/2 oraz środkowy kwadrat o boku c. Tak więc całkowite pole dużego kwadratu można zapisać jako 4·ab/2+c2. Możemy przyrównać te dwa wyrażenia i uprościć:
\[(a+b)^2 = 4 \cdot ab/2 + c^2, \]
\[a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2, \]
\[a^2+b^2=c^2 \]
Szczepan Jeleński w swej książce Śladami Pitagorasa przypuszcza, że w ten sposób mógł udowodnić swoje twierdzenie Pitagoras.
Powyższy dowód, choć prosty, nie jest elementarny w tym sensie, że jego poprawność wymaga uprzedniego uzasadnienia, że pole kwadratu złożonego z trójkątów i mniejszych kwadratow jest równe sumie pól tych figur. Może się to wydawać oczywiste, jednak dowód tego faktu wymaga podania definicji pola, na przykład poprzez konstrukcję miary Jordana.

Dowód przez podobieństwo - szkolny

Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – ABC, "niebieski" – ADC i "różowy" – DBC są podobne. Niech AB = c, BC = b i AC = a. Można napisać proporcje:
\[AD a=a c, \]
\[DB b=b c. \]
Stąd:
\[a^2=c\cdot AD \]
\[b^2=c\cdot DB \]
i po dodaniu stronami:
\[a^2 + b^2=c\cdot AD + c\cdot DB=c(AD+DB)=c^2. \]

Dowód Garfielda

Autorem sprytnego dowodu twierdznia Pitagorasa jest James Garfield, dwudziesty prezydent Stanów Zjednoczonych. Dowód ten pochodzi z roku 1876 i przebiega jak następuje: na przyprostokątnej \[BC=a \] danego trójkąta prostokątnego ABC odkładamy \[CD=AB=b \], a następnie na prostej ED równoległej do AB odkładamy \[DE=a \]. Trójkąt ACE jest prostokątny i równoramienny, a jego pole wynosi \[AC^2/2=c^2/2 \]; pola trójkątów ABC i CDE są równe (trójkąty te są przystające) i wynoszą w sumie \[2\cdot ab/2 \]. Trzy wspomniane trójkąty tworzą trapez ABDE o polu \[(b+a)(a+b)/2 \]. Stąd równości:
\[(b+a)(a+b)/2=c^2/2+2\cdot ab/2, \]
\[(b+a)(a+b)=c^2+2\cdot ab, \]
\[a^2+2ab+b^2=c^2+2\cdot ab, \]
\[a^2+b^2=c^2. \]

Twierdzenie odwrotne

Prawdziwe jest następujące twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa.
Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a, b i c takie, że a2+b2=c2, to istnieje trójkąt o bokach długości a, b i c i kąt między bokami o długości a i b jest prosty.
Odwrócenie to można udowodnić na przykład metodą sprowadzenia do sprzeczności lub przy pomocy twierdzenia cosinusów.
Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.

Uogólnienia

Pewne uogólnienia twierdzenia Pitagorasa zostały podana już przez Euklidesa w jego Elementach: jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolne, niekoniecznie prostokątne, trójkąty nosi nazwę twierdzenia cosinusów i znane było już w starożytności. Jeśli w trójkącie o bokach długości a, b i c oznaczyć przez γ miarę kąta leżącego naprzeciw boku c, to prawdziwa jest równość:
\[a^2+b^2-2ab\cos\gamma=c^2. \]

Jeszcze inne uogólnienie twierdzenia Pitagorasa to tożsamość Parsevala w przestrzeniach z iloczynem skalarnym.
Zdumiewające uogólnienie twierdzenia Pitagorasa należy do Edsgera Dijkstry. Jeżeli w dowolnym trójkącie o bokach długości a, b i c oznaczyć kąty leżące naprzeciw odpowiednich boków przez α, β, γ, to prawdziwa jest następująca równość:
\[sgn(\alpha + \beta - \gamma) = sgn(a^2+b^2-c^2), \]
gdzie sgn oznacza funkcję signum.

Uwagi

Trzeba zauważyć, że twierdzenie Pitagorasa jest twierdzeniem geometrii euklidesowej i wynika z aksjomatów tej teorii. Nie musi być ono prawdziwe dla trójkątów, które mierzymy w naszym wszechświecie. Jednym z pierwszych matematyków, którzy zdali sobie z tego sprawę był Carl Gauss, który bardzo starannie mierzył wielkie trójkąty w swoich badaniach geograficznych, aby sprawdzić prawdziwość twierdzenia. Na powierzchni kuli twierdzenie to nie jest jednak prawdziwe – obowiązuje tam geometria Riemanna.
Ogólna teoria względności mówi, że w bardzo silnych polach grawitacyjnych – na przykład w pobliżu czarnych dziur – twierdzenie jest fałszywe (tam także obowiązuje geometria Riemanna). Również w olbrzymich skalach kosmicznych to twierdzenie może być fałszywe w związku z krzywizną przestrzeni w wielkiej skali. Jest to jeden z otwartych problemów kosmologii.

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Kilka dowodów twierdzenia Pitagorasa
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-07-23 18:39:32