Czytaj więcej"/> Drukuj
Funkcję zespoloną (czyli taką, której wartościami są liczby zespolone) zmiennej zespolonej (czyli taką, której dziedzina jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych) nazywamy funkcją analityczną (lub holomorficzną), gdy jej dziedziną jest otwarty podzbiór zbioru liczb zespolonych, zaś funkcja ta ma pochodną w każdym punkcie swojej dziedziny.
Pochodną funkcji zmiennej zespolonej w punkcie \[z_0\in D\subset C \] definiuje się tak samo, jak pochodną funkcji zmiennej rzeczywistej. Jeśli istnieje granica
\[\lim_{z\to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}, \]

to oznaczamy ją symbolem f′(z0) i nazywamy pochodną funkcji f w punkcie z0.
Fakt, że zmienna jest zespolona, pociąga, w przeciwieństwie do funkcji zmiennej rzeczywistej, bardzo daleko idące konsekwencje. Okazuje się mianowicie, że istnienie pochodnej pierwszego rzędu w każdym punkcie dziedziny pociąga za sobą istnienie pochodnych dowolnego rzędu – nietrudno natomiast o przykład funkcji zmiennej rzeczywistej, która ma pochodną w zadanym punkcie, ale nie ma w nim drugiej pochodnej.
Każdą funkcję analityczną można rozwinąć w szereg potęgowy w pewnym otoczeniu dowolnego punktu jej dziedziny.
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-09-17 17:41:49