Wielomian

Wielomian – pojęcie to, w zależności od kontekstu, oznacza funkcję (na ogół zmiennej rzeczywistej lub zespolonej), albo szczególne wyrażenie algebraiczne.

Wielomian jako funkcja

Potocznie pod pojęciem wielomianu rozumiemy funkcję postaci:

f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+dots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_0

gdzie a_i są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmienna x przebiega odpowiedni zbiór.
Liczby a_i nazywamy współczynnikami wielomianu, n jego stopniem, a_n najstarszym współczynnikiem, a a₀ wyrazem wolnym.
Wielomian stopnia n ma co najwyżej n miejsc zerowych – wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jedno miejsce zerowe. Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każdy wielomian zespolony ma zespolone miejsce zerowe.
Do obliczania wartości wielomianu dla danej liczby c wygodnie stosować jest schemat Hornera.

Aproksymacja funkcji ciągłych

Ze względu na swą prostotę i "porządne" własności (ciągłość, różniczkowalność) wielomiany odgrywają ważną rolę w analizie matematycznej. Podstawowe twierdzenie Weierstrassa mówi, że każdą funkcję ciągłą na przedziale domkniętym można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.
Zagadnienie aproksymacji funkcji wielomianami doprowadziło do konstrukcji wielomianów Czebyszewa i Legendre'a.

Szeregi potęgowe

Próby przybliżania funkcji wielomianami doprowadziły do teorii szeregów potęgowych, które można traktować jako uogólnienie wielomianów. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy, co ułatwia badanie ich własności. Dla przykładu funkcja x → e^x ma rozwinięcie:

e^x=1+frac{1}{0!}+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+dots

Rozwijanie funkcji w szereg jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, którenie są elementarne (zobacz też: funkcje specjalne).

Przestrzeń liniowa

W terminach algebry liniowej każdy wielomian jest kombinacją liniową prostych funkcji potęgowych postaci x → x^k, gdzie k = 0, 1, 2... Zbiór wielomianów jest podprzestrzenią liniową przestrzeni wszystkich funkcji określonych na R lub C. Twierdzenie Weierstrassa mówi, że przestrzeń wielomianów jest zbiorem gęstym w przestrzeni Banacha C( b) z normą supremum.

Wielomian w algebrze

Wielomian jednej zmiennej x to wyrażenie algebraiczne postaci:

a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀,

gdzie x to symbol zmiennej, zaś a_k to współczynniki należące do pewnego pierścienia, na przykład liczb rzeczywistych lub zespolonych. Liczbę a_n nazywamy najstarszym współczynnikiem wielomianu, zaś a₀ wyrazem wolnym.
Przykłady wielomianów jednej zmiennej:

2x
3x³-2x²+x-1
x⁵+x³-2x+11
-9
0.

W tym sensie wielomiany to po prostu napisy, na których możemy wykonywać działania zgodnie z poznanymi w szkole regułami. Ostatni z podanych wielomianów to wielomian zerowy — odgrywa on rolę analogiczną do roli liczby 0 w zbiorze liczb całkowitych.
W przypadku pierścieni nieskończonych bez dzielników zera, na których zwykle operujemy, rozróżnienie między funkcją a wyrażeniem algebraicznym nie jest konieczne.
Ale na przykład wielomiany x² i x generują identyczne funkcje w pierścieniu Z modulo 2: 1²=1, 0²=0, nie chcemy ich jednak traktować jako tego samego obiektu.
Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z danego pierścienia tworzy znowu pierścień, zwany pierścieniem wielomianów danego pierścienia.

Wielomiany wielu zmiennych

Analogicznie można rozpatrywać wielomiany dwóch zmiennych, czyli wyrażenia postaci
a_n,mxⁿy^m+ a_n-1,mx^n-1y^m + a_n,m-1xⁿy^m-1 + ... + a_1,1xy + a_1,0x + a_0,1y + a_0,0,
następnie zaś wielomiany trzech zmiennych i tak dalej
Zobacz też: interpolacja wielomianowa, miejsce zerowe, postać Lagrange'a wielomianu, postać Newtona wielomianu, stopień wielomianu, przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

reklama

Publikacja jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU Wolnej Dokumentacji w wersji 1.1 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.

Szukaj

Lista Kategorii
- Algebra
- Funkcje matematyczne

Pobierz lub drukuj

Opublikował:
Tsca.bot[wiki]|
2005-05-16

Wielomian stopnia 2 ...

Wielomian stopnia ...

Publikuj w:

'''Wielomian''' – pojęcie to, w zależności od kontekstu, oznacza [[funkcja matematyczna|funkcję]] (na ogół zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]] lub [[liczby zespolone|zespolonej]]), albo szczególne [[wyrażenie algebraiczne]].

== Wielomian jako funkcja ==
Potocznie pod pojęciem wielomianu rozumiemy funkcję postaci:
:<math>f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+dots+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_0</math>,
gdzie ''ai'' są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a zmienna ''x'' przebiega odpowiedni zbiór.

Liczby ''ai'' nazywamy '''współczynnikami wielomianu''', ''n'' jego [[stopień wielomianu|stopniem]], ''an'' '''najstarszym współczynnikiem''', a ''a0'' '''wyrazem wolnym'''.

Wielomian stopnia ''n'' ma co najwyżej ''n'' [[miejsce zerowe|miejsc zerowych]] – wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma zawsze co najmniej jedno miejsce zerowe. [[Zasadnicze twierdzenie algebry]] mówi, że ''każdy wielomian zespolony ma zespolone miejsce zerowe''.

Do obliczania wartości wielomianu dla danej liczby ''c'' wygodnie stosować jest [[schemat Hornera]].
=== Aproksymacja funkcji ciągłych ===
Ze względu na swą prostotę i "porządne" własności ([[funkcja ciągła|ciągłość]], [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalność]]) wielomiany odgrywają ważną rolę w [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Podstawowe [[twierdzenie Weierstrassa]] mówi, że każdą funkcję ciągłą na [[przedział domknięty|przedziale domkniętym]] można z dowolną dokładnością przybliżać wielomianami.

Zagadnienie [[aproksymacja|aproksymacji]] funkcji wielomianami doprowadziło do konstrukcji [[wielomian Czebyszewa|wielomianów Czebyszewa]] i [[wielomiany Legendre'a|Legendre'a]].
=== Szeregi potęgowe ===
Próby przybliżania funkcji wielomianami doprowadziły do teorii [[szereg potęgowy|szeregów potęgowych]], które można traktować jako uogólnienie wielomianów. Wiele ważnych funkcji daje się rozwinąć w szereg potęgowy, co ułatwia badanie ich własności. Dla przykładu funkcja ''x'' → ''ex'' ma rozwinięcie:
:<math>e^x=1+frac{1}{0!}+frac{x}{1!}+frac{x^2}{2!}+frac{x^3}{3!}+dots</math>
Rozwijanie funkcji w szereg jest szczególnie ważne w przypadku funkcji, które
nie są [[funkcje elementarne|elementarne]] (zobacz też: [[funkcje specjalne]]).
=== Przestrzeń liniowa ===
W terminach [[algebra liniowa|algebry liniowej]] każdy wielomian jest [[kombinacja liniowa|kombinacją liniową]] prostych [[funkcja potęgowa|funkcji potęgowych]] postaci ''x'' → ''xk'', gdzie ''k'' = 0, 1, 2... Zbiór wielomianów jest [[podprzestrzeń liniowa|podprzestrzenią liniową]] przestrzeni wszystkich funkcji określonych na ''R'' lub ''C''. Twierdzenie [[Karl Weierstrass|Weierstrassa]] mówi, że przestrzeń wielomianów jest [[zbiór gęsty|zbiorem gęstym]] w [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]] ''C''([''a'', ''b'']) z [[norma|normą supremum]].

== Wielomian w algebrze ==
Wielomian jednej zmiennej ''x'' to wyrażenie [[algebra|algebraiczne]] postaci:
:''anxn''+ ''an-1xn-1'' + ... + ''a1x'' + ''a0'',

gdzie ''x'' to symbol zmiennej, zaś ''ak'' to współczynniki należące do pewnego [[pierścień|pierścienia]], na przykład [[liczba rzeczywista|liczb rzeczywistych]] lub [[liczba zespolona|zespolonych]]. Liczbę ''an'' nazywamy '''najstarszym współczynnikiem''' wielomianu, zaś ''a0'' '''wyrazem wolnym'''.

Przykłady wielomianów jednej zmiennej:
#2''x''
#3''x3''-2''x2''+''x''-1
#''x5''+''x3''-2''x''+11
#-9
#0.

W tym sensie wielomiany to po prostu napisy, na których możemy wykonywać działania zgodnie z poznanymi w szkole regułami. Ostatni z podanych wielomianów to '''wielomian zerowy''' — odgrywa on rolę analogiczną do roli liczby 0 w zbiorze liczb całkowitych.

W przypadku pierścieni nieskończonych bez [[dzielnik zera|dzielników zera]], na których zwykle operujemy, rozróżnienie między funkcją a wyrażeniem algebraicznym nie jest konieczne.

Ale na przykład wielomiany ''x2'' i ''x'' generują identyczne funkcje w [[Z modulo n|pierścieniu Z modulo 2]]: 12=1, 02=0, nie chcemy ich jednak traktować jako tego samego obiektu.

Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z danego pierścienia tworzy znowu pierścień, zwany pierścieniem wielomianów danego pierścienia.

== Wielomiany wielu zmiennych ==
Analogicznie można rozpatrywać '''wielomiany dwóch zmiennych''', czyli wyrażenia postaci

''an,mxnym''+ ''an-1,mxn-1ym'' + ''an,m-1xnym-1'' + ... + ''a1,1xy'' + ''a1,0x'' + ''a0,1y'' + ''a0,0'',

następnie zaś '''wielomiany trzech zmiennych''' i tak dalej

Zobacz też: [[interpolacja wielomianowa]], [[miejsce zerowe]], [[postać Lagrange'a wielomianu]], [[postać Newtona wielomianu]], [[stopień wielomianu]],  [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]].
[[Kategoria:Algebra]]
[[Kategoria:Funkcje matematyczne]]
[[da:Polynomium]]
[[de:Polynom]]
[[en:Polynomial]]
[[es:Polinomio]]
[[fr:Polynôme]]
[[ko:다항식]]
[[it:Polinomio]]
[[he:פולינום]]
[[nl:Polynoom]]
[[ja:多項式]]
[[pt:Polinómio]]
[[sl:Polinom]]
[[sv:Polynom]]
[[zh:多項式]]