Transformatą Laplace'a funkcji \[\mathbb{R} \ni t \to f(t) \in \mathbb{R} \] nazywamy następującą funkcję \[\mathbb{C} \ni s \to F(s) \in \mathbb{C} \]:
\[F(s)
= \left\{\mathcal{L} f\right\}(s) =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt. \]
często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim, w następującej formie:
\[F(s)
= \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt. \]
Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace'a) jest zbieżna.
Funkcję \[X \ni f \to \mathcal{L}(f) \] nazywamy transformacją Laplace'a
Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty, a transformacji Laplace'a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace'a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace'a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace'a jest jedynie obrazem pewnej funkcji f(t) przez transformację Laplace'a.
Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace'a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.
Transformata Laplace'a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych.

Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace'a

Istnieje zawsze funkcja, która majoryzuje czyli ogranicza wykładniczo funkcję f(t): dla każdego t > 0 istnieje takie M oraz d, dla którego zachodzi zależność: |f(t)| < Medt

Liniowość

\[\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
= a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} + b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\} \]

Transformata pochodnej

\[\mathcal{L}\{f'\}
= s \mathcal{L}(f) - f(0^+) \] gdzie \[f'(0^+) \] oznacza granicę prawostronną funkcji f(t) w punkcie t=0
\[\mathcal{L}\{f\}
= s^2 \mathcal{L}(f) - s f(0^+) - f'(0^+) \]
\[\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
= s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0^+) - \cdots - f^{(n - 1)}(0^+) \]

Pochodna transformaty

\[\mathcal{L}\{ t f(t)\}
= -F'(s) \]

Transformata całki

\[\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\}
= {1 \over s} \mathcal{L}\{f\} \]

Całka transformaty

\[\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \]

Przesunięcie w dziedzinie transformaty

\[\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}
= F(s - a) \]
\[\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}
= e^{at} f(t) \]

Transformata funkcji z przesunięciem

\[\mathcal{L}\left\{ f(t - a) 1(t - a) \right\}
= e^{-as} F(s) \]
\[\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{-as} F(s) \right\}
= f(t - a) 1(t - a) \] gdzie 1(t) oznacza skok jednostkowy---------.

Splot

\[\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(u).g(t-u)\,du\right\}
= \mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \} \]

Transformacja funkcji okresowej o okresie p

\[\mathcal{L}\{ f \}
= {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt \]

Własności graniczne

\[
\lim_{t \to 0} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s) \]
\[
\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s) \]

Transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji

\[
\mathcal{L}\left\{\delta(t)\right\} = 1 \]
\[
\mathcal{L}\left\{\delta(t-a)\right\} = e^{-as} \]
\[
\mathcal{L}\left\{a\right\} = a\frac{1}{s} \]
\[
\mathcal{L}\left\{at\right\} = a\frac{1}{s^{2}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{at^n\right\} = a\frac{n!}{s^{n+1}} \qquad dla \quad n = 0,1,2,3,.... \]
\[
\mathcal{L}\left\{e^{at}\right\} = \frac{1}{s-a} \]
\[
\mathcal{L}\left\{\sin(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}+a^{2}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{\cos(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}+a^{2}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{\sinh(at)\right\} = \frac{a}{s^{2}-a^{2}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{\cosh(at)\right\} = \frac{s}{s^{2}-a^{2}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{t^ne^{at}\right\} = \frac{n!}{(s-a)^{n-1}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{e^{at}\sin(bt)\right\} = \frac{b}{(s-a)^{2}+b^{2}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{e^{at}\cos(bt)\right\} = \frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}} \]
\[
\mathcal{L}\left\{\ln(at)\right\} = -\frac{\gamma + \ln(s) - \ln(a)}{s} \] gdzie \[\gamma \] - stała Eulera
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.