Teoria liczb jest dziedziną matematyki, zajmującą się badaniem własności liczb - początkowo tylko naturalnych. Obecnie należałoby powiedzieć: głównie naturalnych.
Jej początki sięgają starożytności. Zajmowali się nią Pitagoras, Euklides, Eratostenes, Diofantos i wielu innych. Bujny rozwój teorii liczb datuje się mniej więcej od czasów działalności Pierre'a Fermata (1601-1665), autora słynnego Wielkiego Twierdzenia Fermata. Ogromny wkład w rozwój teorii liczb miał słynny Carl Friedrich Gauss, zaś z polskich matematyków - Wacław Sierpiński.
Badania w zakresie teorii liczb przyczyniły się do znacznego rozwoju wielu gałęzi matematyki: algebry, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku prawdopodobieństwa, geometrii algebraicznej i innych.
Najstarszym działem teorii liczb jest elementarna teoria liczb, w której nie stosuje się metod analizy matematycznej. Jednym z najważniejszych osiągnięć elementarnej teorii liczb jest dowód Erdösa i Selberga pewnego twierdzenia o liczbach pierwszych. Teoria liczb zajmuje się również rozwiązywaniem równań w dziedzinie liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych oraz (od niedawna) liczb p-adycznych.

Równania diofantyczne

Podstawowym problemem teorii równań diofantycznych, bo tak nazywa się ten dział matematyki, jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.
Często nie można nawet odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?
Do efektywnego rozwiązywania równań diofantycznych przydatna jest teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb "modulo n": liczby a i b przystają modulo n, jeżeli ich różnica a-b dzieli się bez reszty przez n, co zapisuje się: a ≡ b (mod n).
Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego w liczbach naturalnych już przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: x2 + y2 = z2. Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),.... Rozwiązania nie będące wielokrotnościami innych rozwiazań to tzw. "rozwiązania właściwe".
Takich trójkątów pitagorejskich (o bokach całkowitej długości) jest nieskończenie wiele. Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych (x, y, z) można uzyskać ze wzorów, które znał już Diofantos: \[x=k^2-l^2 \], \[y=2kl \], \[z=k^2+l^2 \]; gdzie k, l to liczby naturalne, przy czym k > l. Jeśli k i l są względnie pierwsze uzyskuje się rozwiązania właściwe, nie będące wielokrotnością innych rozwiązań. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe. Inaczej: jeśli długości boków trójkąta pitegorejskiego nie mają wspólnego dzielnika, to istnieje tak liczba zespolona całkowita z, że boki trójkąta to: Re(z²), Im(z²), |z²|.
Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

Podział teorii liczb

Teoria liczb podzielona jest obecnie na wiele mniejszych działów. Można w niej wyodrębnić m. in. część algebraiczną, analityczną i probabilistyczną.
Można też podzielić ten dział matematyki na addytywną i multiplikatywną teorię liczb. Pierwsza zajmuje się dodawaniem i odejmowaniem, a druga mnożeniem i dzieleniem liczb całkowitych. Te wydawałoby się proste operacje arytmetyczne prowadzą nierzadko do trudnych i wciąż nierozwiązanych problemów, takich jak problem Collatza czy słynna hipoteza Goldbacha, która jest przykładem nie udowodnionego przez wieki twierdzenia o sumach liczb pierwszych (addytywna teoria liczb).
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.