Tensor metryczny (metryka) jest to szczególny tensor określony w przestrzeni metrycznej. Jego elementy macierzowe (współrzędne) są równe iloczynom skalarnym wektorów bazowych. Macierz tensora dualnego do metryki jest odwrotnością macierzy metryki.
Dla szczególnego przypadku przestrzeni Minkowskiego tensor metryczny jest macierzą diagonalną o wymiarze 4x4 i postaci:
\[g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
lub
\[g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \]
Metryka przestrzeni euklidesowej jest macierzą jednostkową. Dla przestrzeni trójwymiarowej będzie więc
\[d = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
Metryka jest podstawą definicji iloczynu skalarnego w przestrzeni tensorowej, czyli pozwala na stwierdzenie prostopadłości wektorów. Jeżeli wszystkie drugie pochodne cząstkowe metryki względem współrzędnych są równe zero, to przestrzeń opisywana przez taką metrykę jest płaska (obowiązujke w niej piąty aksjomat Euklidesa). Jeżeli któraś z tych pochodnych jest różna od zera, to przestrzeń opisywana przez metrykę jest zakrzywiona.

Przykład do udoskonalenia

Podczas obliczania odległosci punktów A i B w przestrzeni euklidesowej w prostokątnym układzie współrzędnych w istocie obliczamy długość wektora AB od punktu A do punktu B. Operację tę, dzięki prostopadłości osi układu współrzędnych, realizujemy wykorzystując twierdzenie Pitagorasa, to znaczy dla 2 wymiarów, jeśli wektor AB ma współrzędne \[AB_{x}, AB_{y} \] to jego długość \[d \] spełnia równanie:
\[ d = \sqrt( AB_{x}^{2} + AB_{y}^{2} ) \]
Można oczywiście rozważać wyższe niż 2 wymiary przestrzeni, dla ilustracji tego hasła nie będzie to jednak potrzebne (uogólnienie jest proste i oczywiste).
Co jednak się stanie, gdy układ współrzędnych zmieni się z prostokątnego na skośnoosiowy? Zauważmy, że wówczas współrzędne tego samego wektora AB ulegna zmianie ( sam wektor nie!). Obliczając długości wektorów możemy postapić np. tak: dzieki definicjom funkcji sin i cos możemy, znając współrzędne wektora AB w układzie skośnoosiowym, przeliczyć je do układu prostokątnego i użyć powyższy wzór by obliczyc \[d \]. Okaże się wówczas, że możliwe jest zapisanie długości \[d \] posługując sie współrzędnymi w układzie skośnokątnym oraz sinusem i cosinusem kąta, jaki tworzą osie układu współrzędnych.
"wzor ktory niech ktos wyliczy ;-)"
Dalszym mozliwym udoskonaleniem tego wzoru byłoby zapisanei wektora AB w postaci macierzy o jenym wierszu oraz zastosowanie do wyrażenia długosci w układzie ukośnoosiowym notacji macierzowej:
\[ d = AB^{T} * TM * AB \]
gdzie T oznacza operacje transpozycji zaś * oznacza zwykłe mnożenie macierzy. macierz TM pozwalająca zapisywać nam w prostej postaci wzór na d jest właśnie tensorem metrycznym. Co więcej, zmiana układu współrzednych na skosnoosiowy o innym koncie pomiędzy osiami, lub obrót układu współrzednych srowadzają się do zastosowania tzw. transformacji podobieństwa na tensorze TM to znaczy \[TM ' = S^{T} * TM * S \]
gdzie S jest macierzą transformacji pomiędzy układami współrzędnych. Właśnei ta własnośc jest powodem dla której określamy macierz TM jako tensor - obiekt transformujacy sie zgodnie z określona reprezentacja grupy przekształceń przestrzeni nad którą działa jako operator liniowy.

Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.