Szereg to suma nieskończenie wielu składników.
Rozumiana dosłownie, definicja taka nie ma sensu, dlatego nieskończonemu sumowaniu nadajemy specjalne znaczenie.
Dokładniej: jeżeli dany jest ciąg liczb rzeczywistych lub zespolonych \[(a_n) \], to ciąg \[(s_n) \] jego sum częściowych, określony w sposób następujący:
\[s_1=a_1 \]
\[s_2=a_1+a_2 \]
\[s_3=a_1+a_2+a_3 \]
\[\dots \]
\[s_n=a_1+a_2+\dots+a_{n-1}+a_n=\sum_{i=1}^{n}a_i \]
nazywamy szeregiem o wyrazach \[a_n \]. Wyraz \[a_n \] nazywamy n-tym wyrazem szeregu (lub wyrazem ogólnym). Sumę \[s_n \] nazywamy n-tą sumą częściową szeregu.
Jeżeli ciąg \[s_n \] sum częściowych szeregu jest zbieżny, to jego granicę nazywamy sumą szeregu, a sam szereg nazywamy szeregiem zbieżnym. W przeciwnym wypadku (to znaczy gdy ciąg sum częściowych nie ma granicy) szereg nazywamy rozbieżnym. I ta właśnie konstrukcja precyzyjnie wyraża intuicję sumowania nieskończenie wielu liczb: suma szeregu to suma wszystkich wyrazów ciągu \[a_n \]. Sumę szeregu oznaczamy symbolem:
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n \]

Sam szereg też oznacza się takim symbolem, nawet wtedy, gdy nie jest on zbieżny (a więc w sytuacji, gdy napis powyższy rozumiany jako granica ciągu sum częściowych nie ma sensu!). Nie prowadzi to jednak do nieporozumień.

Zbieżność bezwzględna i warunkowa

Szereg ∑an nazywamy zbieżnym bezwzględnie, jeżeli zbieżny jest szereg ∑|an|. Zbieżność bezwzględna szeregu pociąga za sobą zbieżność w zwykłym sensie, ale nie na odwrót – może się zdarzyć, że dany szereg jest zbieżny, lecz nie jest zbieżny bezwzględnie. W takim przypadku mówimy, że szerego jest zbieżny warunkowo.
Zadziwiające twierdzenie Riemanna mówi, że można tak poprzestawiać wyrazy warunkowo zbieżnego szeregu liczb rzeczywistych, aby jako sumę nowego szeregu otrzymać dowolną, z góry zadaną liczbę.
Ogólniej, dla danego szeregu liczb rzeczywistych ∑an rozważmy szeregi ∑an+ jego składników dodatnich i ∑an- jego składników ujemnych. Szereg ∑an jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są oba te szeregi i jego suma jest równa ∑an+-∑an-. Szereg jest zbieżny warunkowo wtedy i tylko wtedy, jeżeli oba szeregi są rozbieżne do +∞.
Przypadek szeregu bezwzględnie zbieżnego jest prostszy niż szeregu zbieżnego warunkowo – jeżeli szereg jest zbieżny bezwzględnie, to jego wyrazy można przestawiać w dowolny sposób, nie zmieniając przy tym sumy szeregu.

Kryteria zbieżności

Podstawowym zadaniem przy badaniu szeregów jest stwierdzenie czy dany szereg jest zbieżny, czy nie. W praktyce korzystamy z wielu kryteriów zbieżności. Oto przykład takiego kryterium pochodządzego od d'Alemberta:
jeżeli wyrazy szeregu ∑an są dodatnie i \[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}<1 \], to szereg ∑an jest zbieżny.

Działania na szeregach

Dane są dwa szeregi ∑an i ∑bn.

Dodawanie szeregów

Szereg ∑(an+bn) nazywamy sumą szeregówan i ∑bn. Jeżeli oba szeregi są zbieżne, to ich suma również jest szeregiem zbieżnym. Analogicznie określa się różnicę szeregów.

Mnożenie szeregów

Iloczynem szeregówan i ∑bn nazywamy szereg określony następująco: \[\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{n-k+1} \] co odpowiada ustawieniu wszystkich iloczynów wyrazów aibj w tablicę:
\[\begin{matrix}
a_1b_1 & & a_1b_2 & & a_1b_3 & \ldots\\
& \swarrow &  & \swarrow &  & \\

a_2b_1 & & a_2b_2 & & a_2b_3 & \ldots\\
& \swarrow &  & \swarrow &  & \\

a_3b_1 & & a_3b_2 & & a_3b_3 & \ldots\\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \\ \end{matrix} \] i sumowaniu kolejno grup elementów w kierunku oznaczonym strzałkami. Podstawowe twierdzenie Cauchy'ego mówi, że jeżeli oba szeregi ∑an i ∑bn są bezwzględnie zbieżne odpowiednio do A i B, to zbieżny jest również ich iloczyn, a jego sumą jest A·B.

Szeregi funkcyjne

Szeczgólnie ważne dla zastosowań matematyki i jej własnych badań są rozmaite szeregi funkcyjne: Fouriera i potęgowe. Okazuje się, że wiele funkcji można z dowolną dokładnością przybliżać takimi szeregami.

Szereg geometryczny

Jeśli \[a_n \] jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q i \[a_n\ne 0 \], to utworzony z jego wyrazów szereg:
\[a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\dots=\sum_{n=1}^{\infty}a_1q^{n-1} \]
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |q|<1. Jego suma jest wtedy równa
\[\frac{a_1}{1-q}. \]

Szereg harmoniczny

Szereg
\[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \]
nazywamy harmonicznym. Szereg ten jest rozbieżny.

Szereg harmoniczny rzędu α

Szereg
\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\dots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} \]
nazywamy harmonicznym rzędu 2. Jest on zbieżny. Podobnie, dla \[\alpha > 1 \] zbieżny jest dowolny szereg harmoniczny rzędu \[\alpha \], czyli szereg postaci:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}} \]

Twierdzenie Riemanna

Szereg 1-1/2+1/3-1/4+1/5-..., zwany szeregiem Leibniza jest zbieżny do ln 2, lecz tylko warunkowo (szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich: 1+1/3+1/5+1/7+ ..., jak i szereg składników ujemnych 1/2+1/4+1/6+1/8+ ... są rozbieżne do +∞. Przestawiając odpowiednio jego wyrazy można otrzymać szereg zbieżny na przykład do 5.

Rys historyczny

Fakt, że istnieją szeregi nieskończone, które mają sumy skończone, był dla starożytnych paradoksem.

Uogólnienia

W definicji szeregu nigdzie nie ma odwołania do faktu, że ciąg (an) jest ciągiem liczbowym, dlatego definicja ta bez zmian przenosi się na przykład na wektorowe przestrzenie topologiczne.
W szczególności, co ważne dla zastosowań, rozważamy rozmaite szeregi funkcyjne.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.