1. Topologia to dział matematyki zajmujący się badaniem własności przestrzeni topologicznych oraz ich przekształceń.
2. Topologia to rodzina wyróżnionych podzbiorów (nazywanych dalej zbiorami otwartymi) danego zbioru \[X \] (zwanego dalej przestrzenią), która spełnia następujące warunki:
  1. zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zbiorami otwartymi
  2. przekrój (część wspólna) dwu zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym
  3. suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
Przestrzeń topologiczna to zbiór wraz z wyróżnioną w nim topologią. W ujęciu tym, zbiór otwarty jest pojęciem pierwotnym teorii.

Intuicja

Obiekty, z którymi spotykamy się w rozważaniach topologicznych, są uogólnieniami pojęć znanych z przestrzeni euklidesowych (czyli prostej rzeczywistej, płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej).
Matematycy zauważyli najpierw, że pojęcie odległości można przenieść na przestrzenie inne niż wymienione powyżej (a więc na przykład na sferę, na zbiór słów oraz bardziej abstrakcyjne przestrzenie). Z drugiej strony, na przestrzeniach euklidesowych można wprowadzić inne definicje odległości (na przykład na płaszczyźnie odległość dwóch punktów zdefiniować można jako sumę ich normalnych, euklidesowych odległości od punktu (0,0) - jest to tak zwana metryka centrum).
Takie rozważania doprowadziły do sformułowania definicji przestrzeni metrycznej, a więc przestrzeni (zbioru) z określoną na niej odległością (metryką). Fakt, że na danym zbiorze mamy możliwość określania odległości, pozwala nam zdefiniować na niej od razu pojęcie granicy ciągu czy funkcji, a więc także przenieść na nią sporą część analizy matematycznej.
Przestrzeń topologiczna to uogólnienie pojęcia przestrzeni metrycznej. Zauważono, że zamiast przypisywać przestrzeni jakieś pojęcie odległości, równie dobrze można przypisać pewną rodzinę zbiorów (topologię), którą stanowią sumy (również nieskończone) kul otwartych (a więc zbiorów punktów odległych od zadanego punktu (środka) o mniej niż zadana odległość (promień)). Mając daną taką rodzinę odtworzymy, jaka jest w tej przestrzeni definicja odległości i odwrotnie.
Może się to wydawać mało intuicyjne, ale okazało się, że język topologii jest częstokroć bardziej użyteczny niż język odległości. W szczególności okazało się, że istnieją przestrzenie, na których można zdefiniować topologie, które nie stanowią rodzin sum kulek, jakiejkolwiek definicji odległości byśmy nie przyjęli. Oznacza to, że istnieją przestrzenie topologiczne, które nie są metryzowalne.
Najbardziej interesujące są dla matematyków te własności przestrzeni topologicznych, które zachowują się podczas przekształcania ich w sposób wzajemnie jednoznaczny, ciągły oraz otwarty - czyli poprzez homeomorfizm. Takimi własnościami są na przykład zwartość, ośrodkowość i spójność, lecz nie zupełność.
Topologia jest abstrakcyjnym działem matematyki. Znajduje zastosowanie w wielu rozważaniach matematycznych, ponieważ topologie (w sensie rodziny zbiorów) możemy określać na dowolnych zbiorach (mogą to być na przykład punkty przestrzeni, funkcje, przestrzenie), w przeciwieństwie do geometrii, która operuje jedynie na obiektach z przestrzeni euklidesowych.

Różne definicje przestrzeni topologicznej

Podane wyżej określenie przestrzeni topologicznej nie jest jedyne. Poniższe określenia są mu równoważne.

Określenie rodziny zbiorów domkniętych

Przestrzeń topologiczna to zbiór \[X \] wraz z wyróżnioną w nim rodziną podzbiorów (zwanych domkniętymi), która spełnia następujące warunki:
  1. zbiór pusty oraz przestrzeń \[X \] są zbiorami domkniętymi
  2. suma dwóch zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
  3. część wspólna dowolnej rodziny zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym
Równoważność obu określeń wynika natychmiast z praw de Morgana jeśli zdefiniować zbiór otwarty jako dopełnienie zbioru domkniętego.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.