Postać Newtona wielomianu

Postać Newtona to jedna z metod przedstawiania wielomianu. Dla wielomianu stopnia

n

wybiera się

n+1

punktów

x_0, x_1, dots, x_n

i buduje wielomian w postaci:

w(x) = sum_{i=0}^n a_i prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j)

= a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_1) (x - x_0) + cdots + a_n (x - x_{n-1}) cdots (x - x_1) (x-x_0)

Wielomiany Newtona mogą być używane do interpolowania dowolnych funkcji.
Procedura interpolacji jest następująca:

$x_i$	$f(x_i)$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$
$x_2$	$f(x_2)$
$vdots$	$vdots$
$x_n$	$f(x_n)$

Uzupełniamy tę tabelkę dopisując kolejne kolumny różnicami dzielonymi:

$x_i$	$f(x_i)$	$f [1]$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$f [2]$
$x_2$	$f(x_2)$	$f [3]$
$vdots$	$vdots$	$vdots$
$x_n$	$f(x_n)$	$f [4]$

Aż skończy się możliwość dalszego dopisywania:

$x_i$	$f(x_i)$	$f [5]$	$f [6]$	$cdots$	$f [7]$
$x_0$	$f(x_0)$
$x_1$	$f(x_1)$	$f [8]$
$x_2$	$f(x_2)$	$f [9]$	$f [10]$
$vdots$	$vdots$	$vdots$	$vdots$	$ddots$
$x_n$	$f(x_n)$	$f [11]$	$f [12]$	$cdots$	$f [13]$

I używamy kolejnych liczb po przekątnej jako współczynników

a_i

.
Zobacz też: przegląd zagadnień z zakresu matematyki

reklama

Publikacja jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU Wolnej Dokumentacji w wersji 1.1 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.

Szukaj

Lista Kategorii
- Algebra

Opublikował:
CiaPan[wiki]|
2005-05-31

Przegląd zagadnień z zakresu matematyki

Pobierz lub drukuj

Publikuj w:

Postać Newtona to jedna z metod przedstawiania wielomianu. Dla wielomianu stopnia <math>n</math> wybiera się <math>n+1</math> punktów <math>x_0, x_1, dots, x_n</math> i buduje wielomian w postaci:

:<math>w(x) = sum_{i=0}^n a_i prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j)</math> <math>= a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_1) (x - x_0) + cdots + a_n (x - x_{n-1}) cdots (x - x_1) (x-x_0)</math>

Wielomiany Newtona mogą być używane do [[interpolacja wielomianowa|interpolowania]] dowolnych funkcji.

Procedura interpolacji jest następująca:

<table border=1>
<tr align="center"><th><math>x_i</math><th><math>f(x_i)</math>
<tr align="center"><td><math>x_0</math><td><math>f(x_0)</math>
<tr align="center"><td><math>x_1</math><td><math>f(x_1)</math>
<tr align="center"><td><math>x_2</math><td><math>f(x_2)</math>
<tr align="center"><td><math>vdots</math><td><math>vdots</math>
<tr align="center"><td><math>x_n</math><td><math>f(x_n)</math>
</table>

Uzupełniamy tę tabelkę dopisując kolejne kolumny [[różnica dzielona|różnicami dzielonymi]]:

<table border=1>
<tr align="center"><th><math>x_i</math><th><math>f(x_i)</math><th><math>f[x_{i-1},x_i]</math>
<tr align="center"><td><math>x_0</math><td><math>f(x_0)</math>
<tr align="center"><td><math>x_1</math><td><math>f(x_1)</math><td><math>f[x_0,x_1]</math>
<tr align="center"><td><math>x_2</math><td><math>f(x_2)</math><td><math>f[x_1,x_2]</math>
<tr align="center"><td><math>vdots</math><td><math>vdots</math><td><math>vdots</math>
<tr align="center"><td><math>x_n</math><td><math>f(x_n)</math><td><math>f[x_{n-1},x_n]</math>
</table>

Aż skończy się możliwość dalszego dopisywania:

<table border=1>
<tr align="center"><th><math>x_i</math><th><math>f(x_i)</math><th><math>f[x_{i-1},x_i]</math><th><math>f[x_{i-2},x_{i-1},x_i]</math><th><math>cdots</math><th><math>f[x_{i-n},ldots,x_i]</math>
<tr align="center"><td><math>x_0</math><td><math>f(x_0)</math>
<tr align="center"><td><math>x_1</math><td><math>f(x_1)</math><td><math>f[x_0,x_1]</math>
<tr align="center"><td><math>x_2</math><td><math>f(x_2)</math><td><math>f[x_1,x_2]</math><td><math>f[x_0,x_1,x_2]</math>
<tr align="center"><td><math>vdots</math><td><math>vdots</math><td><math>vdots</math><td><math>vdots</math><td><math>ddots</math>
<tr align="center"><td><math>x_n</math><td><math>f(x_n)</math><td><math>f[x_{n-1},x_n]</math>
<td><math>f[x_{n-2},x_{n-1},x_n]</math><td><math>cdots</math><td><math>f[x_0,ldots,x_n]</math>
</table>

I używamy kolejnych liczb po przekątnej jako współczynników <math>a_i</math>.

Zobacz też: [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]

[[Kategoria:Algebra]]
[[en:Newton polynomial]]
[[pt:Polinómio de Newton]]