Podstawa logarytmu naturalnego

Podstawa logarytmu naturalnego (inaczej liczba Eulera). W przybliżeniu wynosi:
e ≈ 2.718281828458563411277850606202642376785584483618617451918618203...

Definicja

Liczbę e można zdefiniować na kilka sposobów:

1. Jako granica ciągu.

e = lim_{ntoinfty}left(1+frac{1}{n}right)^n

e = lim_{nto0}(1+n)^{frac{1}{n}}

2. Jako suma szeregu

e = sum_{n=0}^infty {1 over n!} = {1 over 0!} + {1 over 1!}

 + {1 over 2!} + {1 over 3!}
 + {1 over 4!} + cdots

gdzie

n! jest silnią liczby n.

Dowodzi się, że ciąg (1+1/n)ⁿ jest rosnący i ograniczony z góry, a zatem jest zbieżny. Wiadomo, że e jest liczbą niewymierną (co udowodnił Leonhard Euler), a nawet przestępną (co udowodnił Charles Hermite).

Właściwości

e jest podstawą takiej funkcji wykładniczej, że styczna do jej wykresu w punkcie (0, 1) ma współczynnik kierunkowy równy 1
e jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
pochodna funkcji $(e^x)'=e^x;$
$ln e^x=x$
e jest jednym z elementów wzoru Eulera

Kultura e

W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby e tworzone są wierszyki a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie π) w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym e:
"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"

Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.

Zobacz też

Linki zewnętrzne

http://mathworld.wolfram.com/e.html
http://planetmath.org/encyclopedia/EulerianNumber.html.

reklama

Publikacja jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU Wolnej Dokumentacji w wersji 1.1 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.

Szukaj

Lista Kategorii
- Arytmetyka

Opublikował:
Tsca.bot[wiki]|
2005-06-11

Pobierz lub drukuj

Publikuj w:

'''Podstawa [[logarytm naturalny|logarytmu naturalnego]]''' (inaczej '''liczba Eulera'''). W przybliżeniu wynosi:

''e'' ≈ 2.718281828458563411277850606202642376785584483618617451918618203...

===Definicja===
Liczbę '''e''' można zdefiniować na kilka sposobów:

:1. Jako [[granica ciągu]].
::<math>e = lim_{ntoinfty}left(1+frac{1}{n}right)^n</math>
::<math>e = lim_{nto0}(1+n)^{frac{1}{n}}</math>

:2. Jako [[suma szeregu]]
:: <math>e = sum_{n=0}^infty {1 over n!} = {1 over 0!} + {1 over 1!}
  + {1 over 2!} + {1 over 3!}
  + {1 over 4!} + cdots</math>
:: gdzie
::''n''! jest [[silnia|silnią]] liczby ''n''.

Dowodzi się, że ciąg (1+1/''n'')<sup>''n''</sup> jest [[ciąg rosnący|rosnący]] i [[ciąg ograniczony|ograniczony]] z góry, a zatem jest [[ciąg zbieżny|zbieżny]]. Wiadomo, że ''e'' jest liczbą [[liczby_niewymierne|niewymierną]] (co udowodnił [[Leonhard Euler]]), a nawet [[liczba przestępna|przestępną]] (co udowodnił [[Charles Hermite]]).

===Właściwości===
* '''e''' jest podstawą takiej [[funkcja wykładnicza|funkcji wykładniczej]], że [[styczna]] do jej [[wykres funkcji|wykresu]] w punkcie (0, 1) ma [[funkcja liniowa|współczynnik kierunkowy]] równy 1
* '''e''' jest podstawą takiego logarytmu, że styczna do wykresu funkcji logarytmicznej o tej podstawie w punkcie (1,0) ma współczynnik kierunkowy równy 1.
*[[pochodna funkcji]] <math>(e^x)'=e^x;</math>
*<math>ln e^x=x</math>
*'''e''' jest jednym z elementów [[wzór Eulera|wzoru Eulera]]

===Kultura ''e''===
W celu zapamiętania kolejnych cyfr dziesiętnych liczby '''e''' tworzone są wierszyki a nawet opowiadania (podobnie jak o liczbie [[pi|π]]) w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym '''e''':

''"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute e, use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"''
:Gdzie znak "!" oznacza cyfrę 0.

===Zobacz też===
* [[przegląd zagadnień z zakresu matematyki]]
* [[Matematyka]]
* [[Logarytm]]
* [[Funkcja wykładnicza]]

===Linki zewnętrzne===
* http://mathworld.wolfram.com/e.html
* http://planetmath.org/encyclopedia/EulerianNumber.html.

[[Kategoria:Arytmetyka]]

[[ca:Nombre e]]
[[cs:Eulerovo číslo]]
[[da:E (matematisk konstant)]]
[[de:Eulersche Zahl]]
[[en:E (mathematical constant)]]
[[es:Número e]]
[[fr:Base naturelle des logarithmes]]
[[gl:Número e]]
[[ko:E (수학상수)]]
[[it:E (costante matematica)]]
[[he:E (קבוע מתמטי)]]
[[la:Numerus Euleri]]
[[lt:Skaičius e]]
[[nl:E (wiskundige constante)]]
[[ja:ネピア数]]
[[no:E (matematikk)]]
[[pt:E (constante matemática)]]
[[ru:E (математическая константа)]]
[[sl:E (matematična konstanta)]]
[[fi:Neperin luku]]
[[zh:E (数学常数)]]