Ta strona dotyczy liczby pi.
Następujące strony opisują inne
znaczenia słowa pi:
Liczba π to stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi obwodu koła do jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejsza dodatnia wartość x, dla której sin(x)=0.
Liczba π z dokładnością 70 miejsc po przecinku:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164...
Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περιμετροσ) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina — tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

Własności liczby π

Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach wymiernych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonej ilości liczb całkowitych, ułamków i/lub ich pierwiastków.
To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwe jest skonstruowanie, wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla, kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła.
π2 = 9,869604401...
π3 = 31,004319052...
\[\sqrt{\pi} \] = 1,72453851...

Najpopularniejsze aproksymacje wartości π

Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są w końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo 355/113 (ten ostatni ułamek jest równy π z dokładnością 6 miejsc po przecinku).

Historia obliczeń wartości π

Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się on w wielu wzorach z różnych dziedzinach (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3.
Archimedes w III w. p.n.e. oszacował π z dokładnością dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału w jakim mieści się liczba π: 223/71 < π < 22/7. Jego metoda umożliwia obliczanie coraz dokładniejszych przybliżeń π i była stosowana z powodzeniem przez prawie 2000 lat.
Warto przy tym wspomnieć, że stosunek długości dwóch boków podstawy (2×9131 cali) piramidy Cheopsa do jej wysokości (5812,98 cali) wynosi 3,14159 co jest świetnym przybliżeniem liczby π (nawiasem mówiąc, tak oszacował liczbę π Ptolemeusz, ale dopiero w II w. p.n.e.).
Chiński matematyk Zu Chongzhi żyjący około roku 500 podał przybliżenie 355/113, które przez prawie 1000 lat było najlepszym oszacowaniem π. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.
W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii użył ciągów nieskończonych by obliczyć wartość π. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz lub Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszy z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu, do obliczania wartości π, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie.
Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 206,15×109 miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000.

Kultura π

Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca).
Tworzone są też bardzo zgrabne, śmieszne wierszyki, a nawet opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.
Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest prawdopodobnie pierwszym tego typu tekstem:
Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.
 Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)

Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwoidzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki:
Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!
Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...
Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!

Inny przykład:
Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.

Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero):
Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.

Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:
How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!
 Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnej lekturze zawierającej mechanikę kwantową!

Popularny jest także następujący wierszyk:
How I wish I could recollect Pi easily today!
 Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!

Istnieją również żarty na temat tej liczby:
Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?
Elementem poruszającym się po torze jest koło.
A obręcz koła to nic innego jak okrąg.
Należy przeanalizować wzór na obwód okręgu 
  O=2πr. 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem.
I ten hak stuka!

Wzory zawierające π

Geometria
Analiza matematyczna
\[ \zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \] (Euler)
\[\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} \]
\[ \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4} \] (wzór Leibniza)
\[ \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} \] (wzór Wallisa)
\[ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} \]
\[ n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n \] (Wzór Stirlinga)
\[ e^{\pi i} + 1 = 0\; \] (tożsamość Eulera, nazywana również najpiękniejszym wzorem matematyki)

Teoria liczb
  • Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi 6/π2.
  • Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą, wynosi π/4.
Fizyka
\[\Delta x\Delta p\ge\frac{h}{4\pi} \] (zasada nieoznaczoności Heisenberga)

Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.