Miara Lebesgue'a jest uogólnieniem pojęcia objętości (pola powierzchni, długości) podzbiorów przestrzeni euklidesowej. Miara Lebesgue'a jest jednym z podstawowych pojęć analizy rzeczywistej, a także podstawą definicji całki Lebesgue'a (Henri Lebesgue wprowadził pojęcie miary właśnie na potrzeby tej definicji). Zbiory, którym można przypisać miarę Lebesgue'a nazywa się zbiorami mierzalnymi w sensie Lebesgue'a. Miarę zbioru A mierzalnego w sensie Lebesgue'a oznacza się zazwyczaj jako λ (A).

Konstrukcja miary Lebesgue'a na prostej rzeczywistej

Najpierw definiuje się tak zwaną miarę zewnętrzną Lebesgue'a zbioru. Dla podzbiorów prostej rzeczywistej określamy ją w następująco:
  1. miara zewnętrzna Lebesgue'a przedziału otwartego (a, b) jest na mocy definicji równa ba
  2. dla danego zbioru A rozważamy wszystkie zbiory B takie, że AB i B jest sumą przeliczalnie wielu rozłącznych przedziałów otwartych
  3. każdemu opisanemu wyżej zbiorowi B przypisujemy sumę miar tworzących go przedziałów lub +∞ jeśli suma ta nie jest skończona
  4. kres dolny zbioru wszystkich tak skonstruowanych "liczb" przyjmujemy jako miarę zewnętrzną zbioru A.
Sytuacja wygląda w przybliżeniu następująco. Mamy dany zbiór A, który może być bardzo "dziwny" i którego długości w tradycyjny sposób zupełnie nie da się obliczyć (na przykład zbiór liczb wymiernych lub zbiór Cantora). Rozważamy więc wszystkie zbiory, w których nasz zbiór się zawiera, ale których długości obliczyć umiemy. Z tej rodziny wybieramy zbiory o coraz mniejszych długościach (lub o takiej samej długości, jeśli zbiór o mniejszej długości nie istnieje). Długości zbiorów z tego ciągu tworzą nieskończony ciąg zstępujący i ograniczony z dołu (przez 0). Istnieje więc granica tego ciągu – jest ona miarą zewnętrzną zbioru A.
Mamy już określoną pewną funkcję, która przyporządkowuje podzbiorom prostej pewną wartość – długość. Nie spełnia ona jednak definicji miary – na ogół suma miar zewnętrznych przeliczalnie wielu zbiorów rozłącznych nie musi być równa mierze zewnętrznej sumy tych zbiorów.
Spośród wszystkich podzbiorów wybrać więc jeszcze należy pewne σ-ciało, na którym określona przez nas funkcja będzie się porządnie zachowywać, to znaczy będzie spełniała warunek addytywności.
Można tego dokonać na parę sposobów. Można na przykład udowodnić, że odpowiednie jest tutaj σ-ciało zbiorów borelowskich. Następnie ciało to można powiększyć dodając do niego wszystkie te zbiory, które zawierają się w którymś ze zbiorów borelowskich, którego miara wynosi 0 (ta procedura nazywa się uzupełnieniem miary).
Tak rozszerzona rodzina zbiorów prostej tworzy już σ-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a.
Nie wszystkie podzbiory prostej rzeczywistej są mierzalne – korzystając z aksjomatu wyboru można skonstruować zbiory (zbiór Vitalego, zbiór Bernsteina), dla których miara Lebesgue'a nie jest określona. Co więcej, można udowodnić, że jedyną miarą, dla której mierzalne są wszystkie podzbiory prostej, jest miara zerowa, tzn. taka, że miara każdego zbioru jest równa 0.
Podobną konstrukcję można przeprowadzić w dowolnej przestrzeni euklidesowej.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.