Linia geodezyjna, czasem nazywana krótko: geodezyjna – lokalnie najkrótsza linia w pewnej przestrzeni.
Jeśli przestrzeń ta jest płaska (np. płaszczyzna, euklidesowa przestrzeń trójwymiarowa itp.), to geodezyjne są prostymi.
W wypadku rozmaitości o niezerowej krzywiźnie, geodezyjne są nietrywialnymi krzywymi, np. na kuli są to fragmenty okręgów kół wielkich. Na powierzchni bocznej walca geodezyjnymi są linie śrubowe oraz (szczególne przypadki) proste i okręgi.
Linie najkrótsze \[x^{\lambda}(s) \] łączące dwa punkty (linie geodezyjne) nie są już liniami prostymi w zakrzywionej czasoprzestrzeni. Spełniają one równanie
\[ \frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 \]
gdzie Γ jest symbolem Christoffela
\[ \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \rho}(\partial_{\mu}g_{\rho \nu}+\partial_{\nu}g_{\rho \mu}-\partial_{\rho}g_{\mu \nu}) \]
Równanie to wynika z ekstremum funkcjonału
\[ S[1]=mc\int ds =mc \int ds \sqrt{g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}} \]
który jest proporcjonalny do długości łuku wzdłuż linii geodezyjnej. Gdy przestrzeń jest płaska, np. jest to przestrzeń Minkowskiego z
\[ g_{\mu\nu}=diag(1,-1,-1,-1) \]
równanie linii geodezyjnej
\[\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}=0 \]
Wynika stąd ruch po prostej. Dla przykładu na sferze (D=2 wymiarowej \[(y^{1})^2+(y^{2})^2+(y^{3})^2=r^2 \]) wygodnie jest wprowadzić współrzędne sferyczne \[y^1=r \sin(\theta) \sin(\phi),y^1=r \sin(\theta) \cos(\phi), y^1=r \cos(\theta) \], wtedy \[x^{i}=\{ \theta, \phi \} \] (i=1,2). Element długości
\[ds^2=dl^2=(dy^{1})^2+(dy^{2})^2+(dy^{3})^2+=g_{i,j}dx^i dx^j =r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2(\theta) d\phi^2 \].
Tensor metryczny jest bardzo prosty
\[g_{i,j}=\begin{pmatrix}r^2&0\\0&r^2 \sin^2(\theta)\end{pmatrix}. \]
łatwo policzyć wszystkie składowe symboli Christoffela i rozwiązać równanie linii geodezyjnej. Równanie linii geodezyjnej daje fragmenty okręgów kół wielkich.
W czasoprzestrzeni zakrzywionej przez ciało sferycznie symetryczne, tensor metryczny ma postać
\[ g_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}e^{\nu(r)}&0&0&0\\0&-e^{\lambda(r)}&0&0\\0&0&-r^2 &0\\0&0&0&-r^2 \sin^2 (\theta)\end{pmatrix}. \]
Metryka ta daje np.
\[\Gamma^{1}_{0 0}=\frac{1}{2}\frac{d\nu}{dr}e^{\nu -\lambda} \]
W polu tym potencjał grawitacyjny jest równy
\[g_{00}=e^{\nu(r)}=1+\frac{2 \varphi(r)}{c^2} \]
gdzie dla rozwiązania Karla Schwarzschilda (czarna dziura)
\[\varphi(r)=-\frac{r_g c^2}{2}\frac{1}{r}=-G\frac{M}{r} \]
Interwał czasoprzestrzenny ds definiuje czas własny \[ds= c d\tau \] . W przybliżeniu nierelatywistycznym, gdy prędkości ciała są niewielkie, \[d\tau = dt \] i równanie linii geodezyjnej daje równanie Newtona gdy pomnożymy równanie linii geodezyjnej przez (dowolną) masę ciała. Otrzymujemy równanie Newtona
\[m \frac{d^2 x^i}{dt^2}=-m \partial_i \varphi(r) \]
cząstki w polu grawitacyjnym.
Ruch cząstki jest niezależny od jej masy a tylko od geometrii czasoprzestrzeni.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.