Liczby rzeczywiste to liczby, których używamy do reprezentacji wartości ciągłych (w tym zera i liczb ujemnych). Klasycznym modelem zbioru liczb rzeczywistych jest linia prosta. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczany jest symbolem R albo \[\Bbb R \].
Pojęcie liczby rzeczywistej obejmuje wszystkie rodzaje liczb używane w codziennej praktyce – liczby naturalne, całkowite, ułamki, liczby ujemne, pierwiastki...
Uogólnieniem pojęcia liczby rzeczywistej jest liczba zespolona.

Aksjomaty liczb rzeczywistych

Ogólnie zbiór liczb rzeczywistych można zdefiniować jako zbiór R spełniający następujące warunki:
  • R jest ciałem z działaniami +, *;
  • na R istnieje porządek liniowy <, który jest w następujący sposób związany z działaniami:
    • dla każdego z, jeśli x < y, to x+z < y+z
    • dla każdego x > 0 i y > 0, x*y > 0;
  • każdy niepusty podzbiór R, który jest ograniczony z góry, ma supremum.
Ostatni warunek zwany jest aksjomatem ciągłości.

Uzupełnienie liczb wymiernych

W zbiorze wszystkich ciągów podstawowych liczb wymiernych możemy wprowadzić relację równoważności w następujący sposób:
an % bn wtedy i tylko wtedy, gdy granica ciągu (anbn) jest równa 0. Zbiór liczb rzeczywistych można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową względem tej relacji.

W konstrukcji tej tak naprawdę utożsamiamy liczby rzeczywiste z granicami ciągów liczb wymiernych. Nie możemy tego jednak sformułować wprost, gdyż aby mówić na przykład o granicy ciągu dążącego do pierwiastka z 2 musimy już mieć zdefiniowane liczby rzeczywiste. Dlatego utożsamiamy je nie z granicami, lecz z samymi ciągami, które są obiektami w pełni zdefiniowanymi. Kosztem intuicji mamy zapewnioną poprawność rozumowania.

Przekroje Dedekinda

Ten sposób konstrukcji podany został przez XIX-wiecznego matematyka Richarda Dedekinda. Rozpatrzmy wszystkie własności P, Q liczb wymiernych takie, że
  • każda liczba wymierna posiada dokładnie jedną z własności P i Q
  • każda liczba mająca własność P jest mniejsza od każdej liczby mającej własność Q
  • dla każdego d > 0 wymiernego znajdziemy dwie liczby - jedną spełniającą własność P, a drugą Q - które są bliższe sobie niż d
  • nie istnieje największa liczba mająca własność P.
Zdefiniujmy przekrój Dedekinda jako dwa zbiory: zbiór liczb wymiernych mających własność P i zbiór liczb wymiernych mających własność Q. Liczby rzeczywiste utożsamiamy z wszystkimi możliwymi przekrojami.
Na przykład własnością P może być warunek "x2<2 lub x<0" natomiast własnością Q "x2>2 i x>0". Przekrój Dedekinda tych własności jest (w tym ujęciu) liczbą \[\sqrt{2} \]. Jeśli własnością P jest warunek "x<7", i Q jest warunek "x\[\ge \]7", to para (P,Q) definuje liczbę rzeczywistą 7.

Topologia

Jeżeli zdefiniować odległość dwu liczb rzeczywistych \[a \] i \[b \] jako \[|a-b| \], czyli wartość bezwzględną ich różnicy, to zbiór liczb rzeczywistych staje się przestrzenią metryczną zupełną. Przestrzeń ta jest ośrodkowa (zbiorem gęstym jest na przykład zbiór liczb wymiernych), a więc spełnia drugi aksjomat przeliczalności, spójna, i lokalnie zwarta.

Teoria mnogości

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem: Szczególnym przypadkiem liczb rzeczywistych są:

Reprezentacja w komputerze

Przybliżoną, cyfrową reprezentacją liczby rzeczywistej w komputerze jest liczba zmiennoprzecinkowa i typ zmiennoprzecinkowy.

Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.