Komutator dwóch operatorów A i B - wielkość oznaczana symbolem B, równa różnicy iloczynu prawostronnego i lewostronnego tych operatorów:
B = A B - B A
Jeżeli operatory A i B są przemienne (wartość ich iloczynu nie zależy od kolejności), to komutator jest równy zero. Jeżeli operatory są nieprzemienne, to komutator jest niezerowy.
Przykład
Rozważmy dwa operatory: różniczkowy "d", przekształcający funkcję w jej pochodną, oraz "x", przekształcający funkcję w iloczyn tejże i jej argumentu. Zbadajmy własności przemienności tych operatorów na różniczkowalną funkcję "F", która nigdzie nie jest równa 0:
1) d(x F) = dx F + x dF = F + x dF
(ostatnie przejście wynika z tego, że dx = 1)
2) x(dF) = x dF
Odejmijmy te równania stronami:
d(x F) - x(dF) = F + x dF - x dF
d(x F) - x(dF) = F
Wyłączmy funkcję F poza nawias w lewej stronie równania i podzielmy stronami przez F.
(d x - x d)F = F
(d x - x d) = 1
x = 1
Jak widać, wynik zastosowania obu operatorów d i x na funkcję F zależy od ich kolejności, a różnica wyników (komutator) jest równa 1.

Własności komutatorów

antysymetryczność
[1] = -[2]
Dowód:
[3] = AB - BA = - (BA - AB) = -[4]
wyciąganie przed znak komutatora
[5] = A[6] + [7]B
Dowód:
[8] = ABC - CAB
Podstawiając do powyższego zero postaci
ACB - ACB = 0
[9] = ABC - ACB + ACB - CAB = A[10] + [11]B
Tożsamość Jacobiego
[12]] + [13]] + [14]] = 0
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.