faktor. \[1 \]
rzym. I (Ⅰ, ⅰ)
bin. 1
hex. 1
przed. gre. mono-
łac. uni-

1 (jeden) to liczba naturalna służąca do określenia czegoś pojedynczego. Wszystkie inne liczby naturalne są wielokrotnością jedynki. Czasami jedność oznacza również niepodzielność. Jeżeli obiekty opisane są liczbami naturalnymi, to jeden element oznacza najmniejszą niepodzielną część takiego zbioru.

Historia

Jeden -

Symbol jeden używany współcześnie składa się z pionowej kreski, podstawki oraz haczyka na górze. Wywodzi się on od hinduskich Braminów. Jednak ich jedynka była linią poziomą. Taki kształt tego symbolu został przyjęty w Chinach i do dziś jest tam czasami używany. W hinduskim państwie Gupta jedynka była zapisywana jako zakrzywiona linia, a w Nagari czasami dodawano do niej małe kółko po lewej. Współczesny kształt jedynki pochodzi prawdopodobnie się prawdopodobnie od połączenia rzymskiej litery I oznaczającej jeden ze znakiem hinduskim.

Jeden w matematyce

Jeden jest zarówno liczbą jak i cyfrą. Liczba jeden jest neutralnym elementem mnożenia:
\[a\cdot 1=a \]
Liczba rzeczywista pomożona przez jeden jest tą samą liczbą. Dzielenie przez jeden również nie wpływa na wartość liczby:
\[\frac{a}{1}=a \]
Jeżeli podzielimy niezerową liczbę rzeczywistą przez nią samą, to uzyskamy jeden:
\[\frac{a}{a}=1 \].

Dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi stopnia 1 nie zmienia się:
\[a^1=a \],
a jeden w dowolnej potędze jest równe jeden:
\[1^a=1 \].

Dodatnia liczba rzeczywista podniesiona do potęgi zerowej jest równa jeden:
\[a^0=1. \]

Logarytm przy podstawie jeden jest nieokreślony, a logarytm z jedności przy dodatniej podstawie jest równy zero:
\[log_a 1=0 \].

Natomiast logarytm z dodatniej liczby a przy podstawie a jest równy jeden:
\[log_a a=1 \].

Jeden nie jest przez matematyków uznawany za liczbę pierwszą. Wynika to z definicji mówiącej, że liczba pierwsza dzieli się tylko przez jeden i siebie samą. W przypadku jedności nie są to różne liczby. Liczby pierwsze zaczynają się od: \[2,3,5,7,11,13,... \]
Jeżeli wektor jest znormalizowany, to jego długość jest równa jeden. Dla wektora o składowych [1] oznacza to, że spełniają one warunek:
\[\sqrt{u^2+v^2}=1 \]
Czasami wektor o długości jeden bywa nazywany wektorem jednostkowym.
Maksymalna wartość trygonometrycznych funkcji sinus i cosinus to jeden. Jedynka trygonometryczna to wyrażenie:
\[sin^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 \],
gdzie: α – to dowolny kąt.

Iloczyn tangensa i kotangensa tego samego kąta jest równy jeden:
\[tg\alpha\cdot ctg\alpha=1 \].

Pierwsza pochodna funkcji jednej zmiennej jest równa jeden:
y' = f'(x) = 1.

Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, którego jesteśmy całkowicie pewnie jest równe jeden. Jeżeli wiemy, że szansa wystąpienia zdarzenia a jest równa w, to szansa wytępienia zdarzenia przeciwnego b jest równa: \[p(b)=1-w \].
Zgodnie z definicją całka funkcji gęstości rozkładu po całej dziedzinie powinna być równa jeden. Jeżeli funkcja przechodzi cały zakres liczbowy oznacza, to warunek:
\[\int_{-\infty}^{+\infty}p(x)dx=1 \]
Zapis ten można zinterpretować jako stwierdzenie, że możemy być całkowicie pewni, że cokolwiek się wydarzy. Kiedy funkcja rozkładu nie spełnia tego warunku, to musi zostać znormalizowana, czyli podzielona przez liczbę otrzymaną po całkowaniu.
Analogicznie funkcja dystrybuanty dąży w plus nieskończoności do jedności:
\[\lim_{x\to+\infty}~P(x)=1 \]

Jeden w nauce

Atom wodoru składa się z jednego protonu i jednego elektronu. Jest pierwszy w układzie okresowym pierwiastków.
W katalogu Messiera obiekt oznaczony jako M1, ma magnitudę 7.0 i jest pozostałością supernowej w gwiazdozbiorze Byka - Mgławica Kraba.
W katalogu NGC numerem 1 oznaczona jest galaktyka spiralna w gwiazdozbiorze Pegaza (NGC1).

Jeden w kulturze

Jeden oznacza w kulturze niepodzielność i nierozerwalność. Religie, których wierni wierzą w istnienie tylko jednego boga nazywane są monoteistycznymi. Jedność oznacza również często wspólnotę ludzi wobec zagrożenia jak w maksymie W jedności siła. Natomiast określenie jednostkowy, albo jedyny oznacza unikalność danego zjawiska czy osoby i jego niepowtarzalność.
Ludzie przywiązują często znaczenie do tego, kto jest pierwszy. Pierwszy syn nazywany jest pierworodnym i wielu kulturach to on miał prawo do dziedziczenia np. tronu królewskiego. Większość ludów w swojej mitologii tworzy obraz pierwszego legendarnego przedstawiciela danej cywilizacji. Dla Żydów pierwszym człowiekiem był Adam. W sporcie zawodnik, który przybędzie na metę jako pierwszy otrzymuje złoty medal.
Pierwsza sura Koranu ma tytuł al-Fatiha, a pierwsza księga Biblii to Genesis. Bóg Ojciec to pierwsza z osób boskich w Trójcy Świętej .
Postęp cywilizacji ludzkiej przedstawia się często mówiąc, kto pierwszy dokonał pewnego wyczynu lub odkrycia zachęcającego innych do podążenia swoimi śladami. Mówi się np, że Kolumb jako pierwszy dopłynął do Ameryki, a Armstrong jako pierwszy stanął na Księżycu.
Jeżeli, ktoś jako pierwszy wpadnie na jakiś użyteczny pomysł, to może go opatentować. Kiedy kilka osób próbuje uzyskać prawa patentowe, o ich przyznaniu decyduje pierwszeństwo złożenia wniosku.
Jeden (ang. One) pojawił się jako tytuł w utworach wielu popularnych zespołów: Metallica, U2, Creed, Alanis Morissette oraz Bee Gees.
Amerykański banknot jednodolarowy zawiera podobiznę Waszyngtona, a moneta jednocentowa przedstawia Lincolna. Samolot prezydenta USA jest oznaczony jako Air Force One.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.