Indukcja matematyczna to w postaci najogólniejszej rozumowanie przeprowadzane na zbiorach z porządkiem dobrze ufundowanym. Zasada indukcji głosi, że jeśli pewna własność ma miejsce dla wszystkich elementów minimalnych oraz z tego, że tę własność mają wszystkie elementy mniejsze od danego, wynika, że ma ją też ten element, to własność tę mają wszystkie elementy zbioru.
Dwa szczególne przypadki indukcji to indukcja na zbiorze liczb naturalnych oraz indukcja strukturalna.
Zasadę indukcji matematycznej na zbiorze liczb naturalnych można sformułować następująco:
  • jeśli 0 ma pewną własność
  • oraz dla dowolnego \[n \] z tego, że wszystkie liczby mniejsze lub równe \[n \] mają tę własność, wynika, że własność tę ma również \[n+1, \]
to wszystkie liczby naturalne mają tę własność.
Drugie z powyższych założeń można też zastąpić przez następujące:
  • dla dowolnego \[n \] z tego, że \[n \] ma daną własność, wynika, że własność tę ma również \[n+1 \].

Przykład

Obecnie udowodnimy, że
\[1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}. \]
Dla \[n=0 \] jest to prawda, bo
\[0 = \frac{0\times 1}{2}. \]
Dla \[n+1 \] teza indukcyjna przybiera postać
\[1 + 2 + \cdots + n + (n + 1)= \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}, \]
\[1 + 2 + \cdots + n + (n + 1)= \frac{n(n+1)}{2} + (n + 1). \]
Korzystając z założenia indukcyjnego dla \[n \], stwierdzamy, że powyższy wzór jest prawdziwy również dla \[n+1 \]. W ten sposób dzięki zasadzie indukcji matematycznej udowodniliśmy prawdziwość naszego wzoru dla wszystkich liczb naturalnych.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.