Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wektorów to operacja (oznaczana symbolem "·" lub "<·,·>"), która każdej parze (x,y) wektorów z przestrzeni liniowej nad danym ciałem skalarów (najczęściej liczb rzeczywistych R lub zespolonych C) przypisuje skalar w taki sposób, że spełnione są poniższe warunki:

• x·x≥0
• x·x=0 tylko wtedy, gdy x=0
• x·y=(y·x)* gdzie * - sprzężenie, w przypadku przestrzeni zespolonej
• (αx + βy)·z = αx·z + βy·z.

Podstawowe określenia

W geometrii płaskiej klasyczna definicja iloczynu skalarnego związana jest z kątem między wektorami w przestrzeni:

x·y = |x|·|y| cos(x,y),

gdzie |x| oznacza długość wektora x. Widać stąd, że jeżeli wektory x i y są prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zachodzi także zależność odwrotna: jeśli dwa niezerowe wektory mają zerowy iloczyn skalarny to są prostopadłe.
W ogólnym przypadku, jeśli x·y=0, to mówimy że wektory x i y są ortogonalne.

Norma generowana przez iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny pozwala określić (generować) normę wektora, czyli jego długość: ||x||=(x·x)^½. Ważną własnością tak otrzymanej normy jest tożsamość równoległoboku:

2||x||² + 2||y||² = ||x + y||² + ||x - y||².

Inne własności

W przypadku ciała liczb rzeczywitych iloczyn skalarny jest funkcjonałem dwuliniowym. W przypadku liczb zespolonych jest funkcjonałem półtoraliniowym (lub inaczej – hermitowskim).
Pojęcie iloczynu skalarnego pozwala na wprowadzenie takich pojęć jak baza ortogonalna, prostopadłość wektorów, rzut prostokątny

Przykłady

W przestrzeni euklidesowej Rⁿ, dla x = (x₁, x₂,..., x_n) i y=(y₁, y₂,..., y_n) standardowy iloczyn skalarny określamy wzorem

x·y=x₁y₁+x₂y₂+...+x_ny_n.