Iloczyn skalarny wektorów to operacja (oznaczana symbolem "·" lub "<·,·>"), która każdej parze (x,y) wektorów z przestrzeni liniowej nad danym ciałem skalarów (najczęściej liczb rzeczywistych R lub zespolonych C) przypisuje skalar w taki sposób, że spełnione są poniższe warunki:
  • x·x≥0
  • x·x=0 tylko wtedy, gdy x=0
  • x·y=(y·x)* gdzie * - sprzężenie, w przypadku przestrzeni zespolonej
  • x + βyz = αx·z + βy·z.

Podstawowe określenia

W geometrii płaskiej klasyczna definicja iloczynu skalarnego związana jest z kątem między wektorami w przestrzeni:
x·y = |x|·|y| cos(x,y),
gdzie |x| oznacza długość wektora x. Widać stąd, że jeżeli wektory x i y są prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zachodzi także zależność odwrotna: jeśli dwa niezerowe wektory mają zerowy iloczyn skalarny to są prostopadłe.
W ogólnym przypadku, jeśli x·y=0, to mówimy że wektory x i yortogonalne.

Norma generowana przez iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny pozwala określić (generować) normę wektora, czyli jego długość: ||x||=(x·x)½. Ważną własnością tak otrzymanej normy jest tożsamość równoległoboku:
2||x||2 + 2||y||2 = ||x + y||2 + ||x - y||2.

Inne własności

W przypadku ciała liczb rzeczywitych iloczyn skalarny jest funkcjonałem dwuliniowym. W przypadku liczb zespolonych jest funkcjonałem półtoraliniowym (lub inaczej – hermitowskim).
Pojęcie iloczynu skalarnego pozwala na wprowadzenie takich pojęć jak baza ortogonalna, prostopadłość wektorów, rzut prostokątny

Przykłady

W przestrzeni euklidesowej Rn, dla x = (x1, x2,..., xn) i y=(y1, y2,..., yn) standardowy iloczyn skalarny określamy wzorem
x·y=x1y1+x2y2+...+xnyn.

Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.