Iloczyn mieszany trójki wektorów \[ u, v, z \] to liczba, oznaczana symbolem \[(u, v, z) \], którą otrzymujemy mnożąc skalarnie iloczyn wektorowy przez wektor \[z \]. Iloczyn mieszany trójki wektorów możemy geometrycznie zinterpretować jako objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach \[u, v, z \] jako na krawędziach, wziętą ze znakiem „ + ", jeżeli wektory \[u, v, z \] tworzą układ prawoskrętny (tzn. kierunek wektora w jest taki jak kierunek ruchu śruby prawoskrętnej obracanej od \[ u \] do \[ v \] po mniejszym łuku), a ze znakiem „—" w przeciwnym wypadku. Jeśli wektory \[u, v, z \] mają w układzie kartezjańskim współrzędne odpowiednio: u = [1], v= [2], z =[3] to iloczyn mieszany możemy obliczyć posługując się wzorem: \[(u\times v)\circ z=\left| \begin{matrix} u_{x} & u_{y} & u_{z}\\ v_{x} & v_{y} & v_{z}\\ z_{x} & z_{y} & z_{z} \end{matrix}\right|=z_{x}\left| \begin{matrix} u_{y} & u_{z} \\ v_{y} & v_{z} \\ \end{matrix}\right|-z_{y}\left| \begin{matrix} u_{x} & u_{z} \\ v_{x} & v_{z} \\ \end{matrix}\right|+z_{z}\left| \begin{matrix} u_{x} & u_{y} \\ v_{x} & v_{y} \\ \end{matrix}\right| =z_{x}u_{y}v_{z}-z_{x}v_{y}u_{z}-z_{y}u_{x}v_{z}+z_{y}v_{x}u_{z}+z_{z}u_{x}v_{y}-z_{z}v_{x}u_{y} \]

Własności iloczynu mieszanego wektorów

  1. \[(u, v, z ) \] =\[ (z, u, v) \] = \[(v, z, w) \]
  2. \[(u, v, z ) \] = - \[(u, z, v) \] = - \[(v, u, z) \] = -\[(z, v, u) \]
  3. \[(u + q, v, z) \] = \[(u, v, z) \] + \[(q, v, z) \]
  4. \[(tu, v, z ) \] = \[t (u, v, z ) \]
  5. wektory \[u, v, z \] leżą na jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy, gdy \[(u, v, z) = 0 \]
  6. |\[(u, v, z) \]|< |\[u \]| |\[v \]| |\[z \]|
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.