W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać
\[\Lambda^T g \Lambda =g \]
gdzie macierz g=diag(1,-1,-1,-1) jest macierzą diagonalną o sygnaturze (+,-,-,-). Gdy ograniczymy się tylko do podprzestrzeni 3 - wymiarowej (g -> -I) czasoprzestrzeni, warunek ten definiuje transformacje ortogonalne grupy O(3) (grupa obrotów w przestrzeni 3 - wymiarowej).
Macierze Λ nazywamy macierzami Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza z mnożeniem grupowym zdefiniowanym jako monozenie macierzy. Grupa Lorentza jest podgrupą szerszej grupy grupę Poincarégo:
W zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa (Λ=I), transformacja odwrotna i składanie transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza.
Właściwe transformacje Lorentza otrzymujemy, gdy ograniczymy się do transfomacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (w kierunku ruchu układu współrzędnych względem siebie, np. wzdłuż osi \[x^1 \]).
Wtedy macierz g=diag(1,-1) i warunek na transformacje Lorentza definiuje grupę obrotów hiperbolicznych O(1,1). Macierz ma prostą 2- wymiarową postać
ponieważ funkcje te spełniają warunek \[ch^2(\varphi)-sh^2(\varphi)=1 \]. \[\varphi \] jest ciągłym parametrem. Macierze te podobnie jak macierze ortogonalne grupy SO(2) tworzą grupę SO(1,1).
Transformacje Larentza można teraz zapisać jako
Transformacja ta prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza).
Definiując
\[u=\frac{dx^1}{dt} \] i \[u'=\frac{dx'^1}{dt'} \] otrzymujemy
\[u'=\frac{u + v}{(1 + \frac{v u}{c^2})}. \]
Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkościa u=c to w drugim układzie poruszającym się z prędkoscią v ciało nadal poruszać się będzie z prędkością c.
Ogólnie grupa Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów. Trzy parametry związane są z grupa obrotów gdzie istnieją trzy niezależne generatory (\[T_i \] i=1,2,3). Trzy następne parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza. Tak na przykład, pełna transformacja Lorentza wzdłuż pierwszej osi ma postać
Takich generatorów jest też trzy (\[K_i \] i=1,2,3). Z 6 tych generatorów (T i K) zbudować można antysymetryczną macierz generatorów \[M_{\mu\nu} \] tak, że
\[M_{0,i}=K_i, \]
\[T^i=\sum_{i,j} \epsilon_{i,j,k}M_{i,j}. \]
Generatury grupy Lorentza, będące algebrą Liego tej grupy spełniają związki
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz
autorów.
Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.