Grupa Lorentza

Zachowanie odległości (izometria) w czasoprzestrzeni Minkowskiego narzuca warunki \[g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}. \] W tradycyjnym zapisie macierzowym warunek ten ma postać \[\Lambda^T g \Lambda =g \] gdzie macierz g=diag(1,-1,-1,-1) jest macierzą diagonalną o sygnaturze (+,-,-,-). Gdy ograniczymy się tylko do podprzestrzeni 3 - wymiarowej (g -> -I) czasoprzestrzeni, warunek ten definiuje transformacje ortogonalne grupy O(3) (grupa obrotów w przestrzeni 3 - wymiarowej). Macierze Λ nazywamy macierzami Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza z mnożeniem grupowym zdefiniowanym jako monozenie macierzy. Grupa Lorentza jest podgrupą szerszej grupy grupę Poincarégo: \[x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}. \] W zbiorze transformacji Lorentza istnieje transformacja jednostkowa (Λ=I), transformacja odwrotna i składanie transformacji Lorentza też jest transformacją Lorentza.
Właściwe transformacje Lorentza otrzymujemy, gdy ograniczymy się do transfomacji mieszających czas np. z jedną składową przestrzenną (w kierunku ruchu układu współrzędnych względem siebie, np. wzdłuż osi \[x^1 \]). Wtedy macierz g=diag(1,-1) i warunek na transformacje Lorentza definiuje grupę obrotów hiperbolicznych O(1,1). Macierz ma prostą 2- wymiarową postać \[\Lambda=\begin{pmatrix}a &b\\c&d\end{pmatrix}. \] Warunek definujący macierze Lorentza daje związki

  \[a^2-c^2=1 \]

  \[ab=cd \]

  \[d^2-b^2=1 \]

Z dokładnością do znaku, najprostsze rozwiązanie ma postać macierzy obrotu hiperbolicznego \[\Lambda=\begin{pmatrix}ch(\varphi) &sh(\varphi)\\sh(\varphi)&ch(\varphi)\end{pmatrix}, \] ponieważ funkcje te spełniają warunek \[ch^2(\varphi)-sh^2(\varphi)=1 \]. \[\varphi \] jest ciągłym parametrem. Macierze te podobnie jak macierze ortogonalne grupy SO(2) tworzą grupę SO(1,1). Transformacje Larentza można teraz zapisać jako

 \[\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ch(\varphi) &sh(\varphi)\\sh(\varphi)&ch(\varphi)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\end{pmatrix} \]

Parametr \[\varphi \] może być zamieniony na bardziej fizyczny

 \[th(\varphi)=\frac{v}{c} \]

opisujący względny ruch obu układów współrzędnych. Daję (po przekształceniach) to jawną postać transformacji Lorentza \[t \rightarrow t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(t+\frac{v}{c^2}x^1), \] \[x^1 \rightarrow x'^1=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(x^1+v t). \] Transformacja ta prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza). Definiując

 \[u=\frac{dx^1}{dt} \] i \[u'=\frac{dx'^1}{dt'} \] otrzymujemy

\[u'=\frac{u + v}{(1 + \frac{v u}{c^2})}. \] Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkościa u=c to w drugim układzie poruszającym się z prędkoscią v ciało nadal poruszać się będzie z prędkością c.
Ogólnie grupa Lorentza parametryzowana jest przez 6 niezależnych parametrów. Trzy parametry związane są z grupa obrotów gdzie istnieją trzy niezależne generatory (\[T_i \] i=1,2,3). Trzy następne parametry związane są z właściwymi transformacjami Lorentza. Tak na przykład, pełna transformacja Lorentza wzdłuż pierwszej osi ma postać

 \[\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ch(\varphi) &sh(\varphi)&0&0\\sh(\varphi)&ch(\varphi)&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3 \end{pmatrix} \]

generowana jest \[\Lambda=e^{iK_1 \varphi} \] przez generator

 \[K_1 =\begin{pmatrix}0 &-i&0&0\\-i&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix} \]

Takich generatorów jest też trzy (\[K_i \] i=1,2,3). Z 6 tych generatorów (T i K) zbudować można antysymetryczną macierz generatorów \[M_{\mu\nu} \] tak, że

 \[M_{0,i}=K_i, \]

 \[T^i=\sum_{i,j} \epsilon_{i,j,k}M_{i,j}. \]

Generatury grupy Lorentza, będące algebrą Liego tej grupy spełniają związki

• \[M_{\rho\sigma} = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\nu} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho} \]

gdzie \[M_{\mu \nu} \] jest infinitezymalnym generatorem transformacji Lorentza.