Grawitacja

Grawitacja nazywana czasami ciążeniem powszechnym to jedno z oddziaływań fundamentalnych wyróżnianych przez fizykę. Oddziaływanie grawitacyjne jest zależne od masy posiadanej przez poszczególne ciała i od odległości między nimi.
Oddziaływanie grawitacyjne jest dużo słabsze niż oddziaływanie elektromagnetyczne, czy słabe albo silne w skalach odległości z którymi mamy do czynienia na co dzień. Jednak ciążenie jako jedyne może wpływać na ciała bardzo od siebie oddalone. Grawitacja jest oddziaływaniem, które sprawia, że obiekty astronomiczne tworzą się z rozrzedzonych obłoków gazu wypełniających Wszechświat. Ciążenie powoduje zapadanie się tych struktur i powstawanie galaktyk, gwiazd i planet. W codziennym życiu ciążenie objawia się nam w postaci przyspieszenia ziemskiego. Jabłka oraz inne przedmioty spadają, bo działa na nie grawitacja. W skali astronomicznej ciążenie wyjaśnia, dlaczego planety krążą wokół Słońca, a Księżyc dookoła Ziemi. Grawitacja zawsze powoduje przyciąganie, a nigdy odpychanie. Grawitacja może utrzymać w równowadze tak burzliwe procesy takie jak reakcje termojądrowe w jądrze Słońca. W szczególnym przypadku ciążenie może spowodować zapadanie się gwiazd i powstawianie czarnych dziur.
Najnowsze pomiary kosmologiczne wskazują, że Wszechświat rozszerza się coraz szybciej. W tej skali hipotetyzuje się na temat istnienia rzekomego odpychania które mogłoby być silniejsze od przyciągania grawitacyjnego obiektów astronomicznych jednak nie wiadomo jakie mogłyby być źródła takiego oddziaływania ani jaki ma charakter. Grawitacja w skali Wszechświata działa inaczej niż w naszym otoczeniu, i współcześnie budowane modele kosmologiczne usiłują sprostać opisowi tych zagadnień. Fizycy podejmują próby stworzenia kwantowe teorie grawitacji, która będzie mogła wyjaśnić współczesne obserwacje kosmologiczne.

Wstęp

Najważniejszą cechą grawitacji jest jej powszechność. Ciążenie działa tak samo na wszystkie ciała niezależnie od ich natury. Jednym czynnikiem wpływającym na grawitację jest masa/energia wpływających na siebie obiektów. Nie można w żaden sposób zakłócić, ani odizolować żadnego ciała od wpływu ciążenia.
We współczesnej fizyce grawitację opisuje ogólną teorią względności. Oddziaływanie grawitacyjne jest skutkiem zakrzywienia czasoprzestrzeni przez rozmaite formy materii lub energii.
Obecność ciężkich obiektów zmienia przestrzeń w dwojaki sposób. W naszym otoczeniu najważniejszym skutkiem grawitacji, jest dylatacja czasu. Na powierzchni Ziemi zegary działają wolniej niż w przestrzeni kosmicznej. Wartość opóźnienia wydaje się niewielka, ale jej wpływ na ruch ciał jest bardzo duży. Dylatacja czasu powoduje powstawanie siły skierowanej do środka naszej planety.
W pobliżu tak potężnych źródeł grawitacji jak czarne dziury zakrzywienie czasoprzestrzeni jest największe. Oprócz dylatacji czasu widoczne staje się odejście od geometrii euklidesowej (przyjmowanej intuicyjnie przez człowieka). Większość najbardziej egzotycznych zjawisk opisywanych przez ogólną teorię względności staje się widoczna właśnie w takich warunkach.

Poglądy starożytnych

Już u zarania cywilizacji ludzie zaobserwowali, że przedmioty puszczone spadają. Codziennie doświadczenie mówi nam, że obiekty cięższe znajdą się na ziemi wcześniej niż te lżejsze. Jeżeli zrzucimy z pewnej wysokości kulkę oraz piórko, to piórko spadnie później. Co więcej istnieją obiekty takie jak np. balony, które pozornie łamią prawo grawitacji unosząc się do góry. Podobne codzienne obserwacje przekonały greckiego filozofa Arystotelesa, że proces spadania jest zależny od natury przedmiotu. Pogląd ten zawarł w swoich dziełach dotyczących fizyki wydanych w latach 355-322 p.n.e.. Starożytni w żaden sposób nie kojażyli ze sobą opadania ciał na ziemi, z ruchami planet w "niebiosach". Zachowanie ciał astralnych opisywał model geocentryczny, który nie pozwalał na dostrzeżenie jakichkolwiek analogii pomiędzy przyciąganiem i torami ciał niebieskich. Istniało powszechne przekonanie, że ziemia i niebo rządzą się całkowicie odmiennymi prawami.

Renesans

W roku 1543 Kopernik zaproponował heliocentryczny model Układu Słonecznego. Słońce znajdowało się w środku, a planety poruszały się po kołowych orbitach. W roku 1584 Giordano Bruno zaproponował zasadę według, której zarówno ziemią jak i niebem rządzą te same powszechne prawa.
W roku 1604 Galileusz podważył wywodzące się ze starożytności idee dotyczące spadania ciał. Jego zdaniem pozorne różnice między ciążeniem działającym na różne obiekty są skutkiem zjawisk takich jak opór, albo wypieranie. W podręcznikach podaje się, że Galileusz wykonał szereg eksperymentów z kulami o różnych masach zrzucanymi z wieży lub staczającymi się po równi pochyłej. Wielu współczesnych historyków nauki sądzi, że ten wielki uczony dowiódł niezależności przyspieszenia ziemskiego od natury ciała w sposób czysto spekulatywny. Galileusz działał zgodnie z powszechnie uznawaną w jego czasach scholastyczną metodą analizy zjawisk.
Badacz ten wyobraził sobie dwie spadające cegły. Gdyby ich przyspieszenie zależało od masy, wówczas każda z cegieł oddzielnie spadałaby inaczej, niż gdyby połączyć je luźnym sznurkiem. Galileusz doszedł do wniosku, że założenie zależności przyspieszenia od masy ciała prowadzi do logicznej sprzeczności. Połączenie ciał sznurkiem nie zmienia ich fizycznych własności. Współcześni naukowcy powątpiewają, czy wielki włoski uczony mógł prowadzić doświadczenia ze spadaniem ciał..
W latach 1609-18 niemiecki astronom Jan Kepler sformułował prawa dotyczące ruchu orbitalnego. Zgodnie z nimi planety kreślą w przestrzeni wielkie elipsy. Sformułował też prawo wiążące średni promień orbity z okresem obiegu:

Kwadrat stosunków czasów potrzebnych dwóm planetom na przejście całej swojej orbity jest równy sześcianowi stosunków ich średnich odległości od Słońca.

Prawo powszechnego ciążenia

1686 roku pod tytułem Phisophie Naturalis Principia Mathematica
Dnia 5 czerwca roku 1686 Newton wydał dzieło, w którym przedstawił spójną teorię grawitacji opisującą zarówno spadanie obiektów na ziemi, jak i ruch ciał niebieskich. Angielski fizyk oparł się na zaproponowanych przez siebie zasadach dynamiki oraz prawach Keplera dotyczących odległości planety od Słońca.
Dla uproszczenia załóżmy, że dwie planety poruszają się po kołowej orbicie. Prawo Keplera przyjmie dla nich postać:

\[\left(\frac{R_1}{R_2}\right)^3=\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2 (1), \]

gdzie: \[R_1 \],\[R_2 \] - promienie orbit, \[T_1 \],\[T_2 \] - okresy obiegu planet.
Zgodnie z rachunkiem wektorowym ciało poruszające się po okręgu jest poddane przyspieszeniu:

\[a=\frac{v^2}{R} (2), \]

gdzie: \[a \] - przyspieszenie, \[v \] - prędkość, \[R \] - promień okręgu. co według drugiej zasady dynamiki oznacza, że musi działać na nie siła dośrodkowa:

\[F_d=\frac{m_b v^2}{R} (3), \]

gdzie \[m_b \] to masa bezwładnościowa ciała.
Przy ruchu planet ta siła dośrodkowa jest równa sile grawitacyjnej \[F_g \]. Prędkość orbitalna może być wyliczona jako:

\[v=\frac{2\pi R}{T} (4) \]

Jeżeli podstawimy zalezność (4) do (3) to otrzymamy:

\[F_g=\frac{m_b 4 \pi^2 R}{T^2} (5), \]

Stosunek sił grawitacyjnych dla planet można rozpisać jako:

\[\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{m_{b1} R_1 T_2^2}{m_{b2} R_2 T_1^2}(5), \]

Jeżeli teraz do równania (5) podstawimy (1) to pozbędziemy się okresów obiegu:

\[\frac{F_{g1}}{F_{g2}}=\frac{m_{b1} R_2^2}{m_{b2} R_1^2}(5), \]

Otrzymana zależność oznacza tyle, że stosunek sił grawitacyjnych jest proporcjonalny do odwrotności stosunku kwadratów odległości. Jeżeli planeta jest dwa razy dalej od Słońca, to siła grawitacji jest cztery razy mniejsza. Kiedy ciało ma dwa razy mniejszą masę, wtedy siła jest dwa razy mniejsza.
Newton uznał, że ta sama siła powoduje ruch planet po orbitach oraz spadanie jabłka z drzewa. W ten sposób ten wielki fizyk podłożył podwaliny pod mechanikę klasyczną. W tym ujęciu grawitacja jest siłą, z jaką oddziałują na siebie wszelkie ciała obdarzone masą. Prawo powszechnego ciążenia głosi, że:

Między dowolną parą ciał posiadających masy pojawia się siła przyciągająca, która działa na linii łączącej ich środki, a jej wartość rośnie z iloczynem ich mas i maleje z kwadratem odległości.

Matematycznie związek ten wyraża się wzorem:

 \[F^{i} =G \frac{ m_1 m_2}{r^2} e^i, \]

gdzie: \[G \] - stała grawitacji, \[m_1 \],\[m_2 \] - masy ciał, \[x \] - wektor łączący środki mas obu ciał, a \[r \] jest długością tego wektora, \[e^i=\frac{x^i}{r} \] jest wektorem jednostkowym (\[e e =1 \]) łączącym środki mas obu ciał. Siła \[F=F^i e^i \] jest wektorem a jej wartość (długość tego wektora \[F=F e \]) jest równa:

 \[F = G \frac{ m_1 m_2}{r^2}. \]

Masy grawitacyjne \[m_1 \] i \[m_2 \] nie muszą być równe masom bezwładnościowym występującym w II zasadzie dynamiki Newtona. Zaobserwowana równość tych wartości oznacza, że ruch ciała w polu grawitacyjnym nie zależy od jego masy. Postulat ten jako pierwszy wysunął Galileusz. Równoznaczność mas bezwładnościowych i grawitacyjnych, zupełnie przypadkowa z punktu widzenia mechaniki klasycznej, jest podstawą ogólnej teorii względności.
Jednoznaczność masy bezwładnościowej i grawitacyjnej czekała na potwierdzenie eksperymentalne aż do roku 1798. Angielski fizyk Henry Cavendish jako pierwszy wykonał doświadczenia z wykorzystanie oscylujących mas, dzięki którym określił wartość stałej grawitacyjnej G z błędem 1%. W tym samym eksperymencie potwierdził też równoznaczność masy grawitacyjnej i bezwładnościowej.
Stała grawitacji została uznana za jedną z podstawowych stałych fizycznych. Obecnie jej wartość zmierzono jako równą:

 G ≈ 6.6732(±0,0031)×10^-11m³kg^-1s^-2.

Pole grawitacyjne jest polem potencjalnym. Praca wykonywana w tym polu nie zależy od drogi po jakiej przemieszczają się ciała, tylko od różnicy potencjałów w punkcie początkowym i końcowym. Możliwe jest zatem zdefiniowanie funkcji U, która opisuje potencjał pola grawitacyjnego. Spełnia ona następującą zależność:

 \[F^{i} =-\frac{\partial U}{\partial x^i}, \]

Korzystając z tego równania można obliczyć energię potencjalną pola grawitacyjnego.

Grawitacja na powierzchni Ziemi

Kiedy znajdujemy się na powierzchni naszej planety, odległość od środka ciężkości Ziemi jest dużo większa niż wysokość, na której możemy się przemieszczać (bez rakiet). W takiej sytuacji można założyć, że pole grawitacyjny jest jednorodne.
Korzystając z zależności na siłę grawitacyjną można obliczyć, że przedmiot o masie m na powierzchni naszej planety działa siła F_g:

\[F_g=\frac{G M_z m}{r_z^2} \]

gdzie M_z ≈ 5,9736×10²⁴ kg - masa Ziemi, r_z ≈ 6373,14 km , a zgodnie z drugą zasadą dynamiki:

\[a=\frac{F_g}{m}, \]

Podstawiając zależność na siłę można obliczyć przyspieszenie ziemskie g:

\[g=\frac{G M_z}{r_z^2} \approx \frac{6,6732\cdot10^{-11}\cdot m^3\cdot kg^{-1}\cdot s^{-2} \cdot 5,9736\cdot 10^{24}kg}{(6373,14 km)^2} \approx 9,81\frac{m}{s^2}. \]

W praktyce wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od wielu czynników. Umowna wartość g (dodaje się indeks "n" w celu zaznaczenia, że jest to przyspieszenie "normalne") to:

gn ≈ 9,80665 m/s2 ,

Spadający człowiek porusza się z przyspieszeniem ziemskim tylko przez kilka sekund. Potem opór powietrza staje się na tyle znaczący, że równoważy siłę grawitacji. Punkt równowagi odpowiada zwykle 200 km/h. Spadochron zwiększa siłę oporu powietrza i prędkość odpadania stabilizuje się na dużo mniejszej wartości.
Na Księżycu brak atmosfery powoduje, że wszystkie ciała spadają z takim samym przyspieszeniem. Podczas lotów programu Apollo astronauci przeprowadzili pokazy ze zrzucaniem różnych przedmiotów, które transmitowała telewizja. Brak atmosfery hamującej ruch pojazdu powoduje, że lądowanie na Srebrnym Globie wymaga dużych zasobów paliwa rakietowego. Spadochrony w próżni nie są skuteczne.

Grawitacja w ogólnej teorii względności

W Ogólnej Teorii Względności stworzonej przez Alberta Einsteina opis grawitacji polega na określeniu związku pomiędzy tensorem metrycznym opisującym lokalne stosunki długości i interwałów czasowych w czasoprzestrzeni a energią zawartą w określonym obszarze czasoprzestrzeni. Punktem wyjścia dla teorii jest uogólnienie zasady względności Galileusza, o równoważności opisu zjawisk fizycznych w dowolnych układach inercjalnych, na dowolne także nieinercjalne układy odniesienia. Próba takiego zapisania praw mechaniki, aby ich postać matematyczna była identyczna w dowolnym układzie odniesienia, prowadzi do utożsamienia grawitacji i sił bezwładności, masy grawitacyjnej i bezwładnej i w końcu do równań pola grawitacyjnego łączących krzywiznę przestrzeni z tensorem energii-pędu oraz tensorem metrycznym. Można powiedzieć, że w ogólnej teorii względności grawitacja jest konsekwencją zakrzywienia czasoprzestrzeni.
Zakrzywienie to opisuje tensor metryczny \[g_{\mu \nu} \] definiujący w czasoprzestrzeni odległość między dwoma punktami o współrzędnych\[x^{\mu} \] i \[x^{\mu}+ dx^{\mu} \]

\[ds^2=g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}. \]

Sferycznie symetryczna czasoprzestrzeń opisana jest przez element długości:

\[ds^2=e^{\nu(r)}(dx^0)^2-e^{\lambda(r)}dr^2-r^2 d\theta^2-r^2 sin(\theta)^2 d\phi^2. \]

Funkcje \[\nu(r) \] i \[\lambda(r) \] określa rozwiązanie równań Einsteina. Funkcja \[\nu(r) \] definiuje potencjał grawitacyjny U(r)

\[e^{\nu(r)}=1+\frac{2 \varphi(r)}{c^2} \]

gdzie: \[U(r)=m_2 \varphi(r). \]
Równania Einsteina są skomplikowane. Maja one otwarty charakter w tym sensie, że geometria przestrzeni zależy od gęstości energii w rozpatrywanych obszarach, zaś ilość materii i jej przestrzenny rozkład (a więc i gęstość energii) zależy od geometrii. Równania Einsteina nie pozwalają traktowac żadnej z tch wielkości jako bardziej podstawowej, co sprawia że uzyskiwanie rozwiązań tych równań nie jest trywialne i zwykle możliwe jest jedynie dla wyjątkowo symetrycznych konfiguracji jak rozwiązanie Schwarzschilda z symetrią kulista i bez materii.
Rozwiązanie Schwarzschilda dla układu w próżni (np. poza gwiazdą) prowadzi do:

\[e^{\nu(r)}=1-\frac{r_g}{r}. \]

\[r_g \] jest promieniem grawitacyjnym definiującym rozmiar horyzonu zdarzeń czarnej dziury.
W ujęciu ogólnej teorii względności postuluje się, że źródłem grawitacji jest tensor energii-pędu. Nawet cząstki pozbawione masy spoczynkowej (foton) doznają wpływu wynikającego z zakrzywienia przestrzeni a więc oddziaływują grawitacyjnie. Generalnie, źródłem grawitacji są wszelkie postacie energii dające wkład do wyżej wymienionego tensora energii pędu: masy, gęstość energii promieniowania i ciśnienia. W szczególności wkład ciśnienia jest identyczny z wkładem masy czyli wzrost ciśnienia powoduje wzrost sił przyciągających nie zaś jak podpowiada nam intuicja, spadek.

Grawitacja a mechanika kwantowa

Niestety, współczesna fizyka nie jest w stanie połączyć (zunifikować) Ogólnej Teorii Względności z mechaniką kwantową. Oznacza to, że żadna ze współczesnych teorii nie opisuje poprawnie ruchu cząstki o niewielkiej masie poruszającej się z prędkością porównywalną z prędkością światła w silnym polu grawitacyjnym np. w pobliżu lub we wnętrzu czarnej dziury. Ogólna teoria względności załamuje się również w momencie Wielkiego Wybuchu jak i zaraz po nim. Brak jest prawidłowego opisu zjawisk zachodzących w bardzo małych objętościach porównywalnych z długością Plancka. Jakolwiek zjawiska te z punktu widzenia przecietnego człowieka wydaja się byc dosyc odległe od zjawisk jakie obserwujemy na codzień, to jednak popzrez ich związek z kosmologia, wyniki uzyskane na tych polach maja bezpośredni wpływ na obraz zjawisk jak najbardziej powszechnych.
Nie oznacza to oczywiście, że nie podejmuje się ciągle prób opisania grawitacji w zgodzie z zasadami mechaniki kwantowej. Postęp w tej dziedzinie jest znaczący i obejmuje sformuowanie wielu teorii: od takich które analizuja kwantowanie w przestrzeniach zakrzywionych, poprzez teorie pola posługujące się algebrą grassmanowską aż do teorii superstrun, nie będącą teorią pola. Wszystkie te teorie dają jakiś wgląd w możliwą naturę kwantowej grawitacji. Jednak brak jest spójnej teorii pozwalającej w dodatku na przewidywanie wyników doświadczeń, która unifikowałaby Ogólną Teorię Względności i mechanikę kwantową.

Literatura

• Schuster "Ogólna teoria Względności"