Funkce eliptyczne - funkcje określone na zbiorze liczb zespolonych periodyczne zarówno względem osi liczb urojonych jak i osi liczb rzeczywistych (dwuokresowe). Funkcje eliptyczne na płaszczyźnie zespolonej są analagią funkcji trygonometrycznych na osi liczb rzeczywistych. Określenie funkcje eliptyczne zaczęto używać do nazywania funkcji odwrotnych do całek eliptycznych, które z kolei nazwę swą wzieły stąd, iż były badane w związku z problemem obliczania długości łuku elipsy.
Funkcja eliptyczna jest to funkcja meromorficzna f określona na zbiorze liczb zespolonych C, dla której istnieją dwie niezerowe liczby zespolone a i b spełniające równanie:
f(z + a) = f(z + b) = f(z)   dla wszystkich z w zbiorze C

oraz takie, aby stosunek \[\frac{a}{b} \] nie był liczbą rzeczywistą. Wtedy:
f(z + ma + nb) = f(z)   dla wszystkich z w zbiorze C oraz m i n będących liczbami naturalnymi.

Rozwój teorii funkcji eliptycznych opiera się na \[\wp \]-funkcji wprowadzonej przez Karla Weierstrassa. Każda funkcja eliptyczna może być przedstawiona za pomocą \[\wp \]-funkcji. Definicja funkcji eliptycznych, wprowadzona przez Carla Jacobiego przy użyciu funkcji theta (niedwuokresowej), jest bardziej złożona, lecz również stosowana.

Własności

Karzda liczba zespolona ω taka, że f(z + ω) = f(z) dla wszystkich z w zbiorze C jest nazywana okresem funkcji f.
Jeśli funkcja eliptyczna posiada dwa okresy a i b takie, że każdy inny okres ω może być zapisany jako ω = ma + nb, gdzie m i n to liczby całkowite, to a i b nazywane są okresami pierwotnymi funkcji eliptycznej.
Karzda funkcja eliptyczna posiada parę okresów pierwotnych, lecz nie są to pary unikalne. Jeśli a i b są okresami pierwotnymi opisującymi kratę, to ta sama krata może być opisana przez parę okresów pierwotnych a' = p a + q b   i   b' = r a + q b, gdzie p, q, r i s są liczbami całokowitymi oraz spełniają równanie   p s - q r = 1. Innymi słowy, jeśli a i b są okresami pierwotnymi, to a' i b' również nimi są.
Jeśli a i b są okresami pierwotnymi, to każdy równoległobok o wierzchołkach z, z + a, z + b, z + a + b jest nazywany równoległobokiem pierwotnym. Zwielokrotnianie tych równoległoboków przez kolejne mnożenia a i b przez liczby całkowite daje kolejne równoległoboki pierwotne, w których funkcja f posiada te same własności (okresowość).
Pochodna funkcji eliptycznej jest również funkcją eliptyczną posiadającą ten sam okres.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.