Elementy (gr. Στοιχεία) – jedno z najsłynniejszych dzieł naukowych w historii ludzkości, pochodzący z III wieku p.n.e. traktat arytmetyczny i geometryczny, obejmujący swym zakresem podstawowe zagadnienia obu tych nauk. Elementy ukształtowały sposób myślenia o teoriach matematycznych i stały się wzorcem do naśladowania w wielu dziedzinach nauki. Są klasycznym przykładem metody dedukcyjnej i świadectwem siły rozumowania formalnego opartego na logice.

Historia

Autorem Elementów był Euklides, aczkolwiek uważa się, że dokonał on kompilacji znanych już wyników. Traktaty poświęcone geometrii pisali bowiem już przed nim Demokryt z Abdery, Ksenokrates, Heraklides z Pontu, a Simmias z Teb napisał nawet dzieło pod tym samym, co Euklides, tytułem. Prawdopodobnie jedynie kilka dowodów zamieszczonych w traktacie jest autorstwa Euklidesa, jednak nie umniejsza to w niczym wielkości jego dzieła.
Od starożytności, przez średniowiecze aż do końca XIX wieku Elementy należały do kanonu nauczania matematyki i do dziś mogą uchodzić za wzór ścisłości i zwięzłości matematycznej wypowiedzi.
Elementy były wielokrotnie komentowane i wydawane. Ważnego ujednolicenia i uproszczenia dzieła dokonał w IV wieku Teon z Aleksandrii. Na nim opierały się późniejsze greckie teksty i tłumaczenia, aż do odkrycia w XIX wieku rękopisu greckiego, poprzedzającego wersję Teona. Pierwsze tłumaczenia arabskie powstały w VIII wieku. W pierwszej połowie XII wieku, na podstawie arabskiej wersji otrzymanej podczas pobytu w Hiszpanii, Abelard z Bath dokonał tłumaczenia łacińskiego. Aż do 1505 roku, kiedy to ukazało się drukiem pierwsze łacińskie tłumaczenie dokonane bezpośrednio z greckiego, opierano się wyłącznie na tłumaczeniach arabskich. Za najważniejsze z tego okresu, uważane jest wydanie z 1572 roku, będące tłumaczeniem z wersji arabskich, dokonanym przez Federico Comandino. W 1703 roku ukazało się pierwsze komletne wydanie Elementów (Oxford). Polskiego tłumaczenia ośmiu ksiąg Elementów pt. Euklidesa początki geometrii Ksiąg ośmioro dokonał na początku XIX wieku Józef Czech, ukazało się ono w roku 1807 w Krzemieńcu. Za najlepsze uważane jest trójjęzyczne wydanie niemieckie (dodatkowo greka i łacina), Euclidis Opera Omnia (1883-1916).
Od roku 1482, gdy ukazało się pierwsze drukowane wydanie Elementów w języku łacińskim, doliczono się ponad 1000 wydań drukowanych i ciągle ukazują się kolejne – jedynie Biblia cieszy się większym powodzeniem wydawców. Na układzie Elementów oparty jest też popularny przed II wojną światową podręcznik Geometria autorstwa Jana Zydlera.

Metoda

Traktat Euklidesa ma budowę dedukcyjną – po spisaniu listy pojęć pierwotnych i ich własności w postaci aksjomatów, drogą ścisłego rozumowania wyprowadzane są kolejne twierdzenia. Jest to cecha charakterystyczna dojrzałych teorii matematycznych, a w czasach Euklidesa taką postać osiągnęła już geometria.
O precyzji rozumowań przeprowadzanych w Elementach niech świadczy fakt, że pierwszą większą nieścisłość zauważono dopiero w drugiej połowie XIX wieku. Moritz Pasch doszedł do wniosku, że listę aksjomatów podaną przez Euklidesa należy uzupełnić o tak zwany dziś aksjomat Pascha:
prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi.

Poszukiwanie ścisłości, a jednocześnie prostoty rozumowań doprowadziło matematyków do innych niż zaproponowane przez Euklidesa układów aksjomatów geometrii. W roku 1899 ukazała się klasyczna dziś praca Davida Hilberta Podstawy Geometrii (Grundlagen der Geometrie), która stała się podstawą większości stosowanych dziś aksjomatyk. Na układzie 21 aksjomatów Hilberta bazuje między innymi praca Podstawy geometrii Karola Borsuka i Wandy Szmielew.

Budowa dzieła

Elementy spisane są w postaci trzynastu ksiąg. Oprócz treści czysto geometrycznych część z nich poświęcona jest zagadnieniom zaliczanym dziś do teorii liczb.

Geometria płaska

Księgi I–IV poświęcone są geometrii płaskiej.
Księga I
Księga I dotyczy podstaw geometrii płaszczyzny. Euklides podaje w niej definicje podstawowych pojęć budowanej teorii, pewniki i tak zwane aksjomaty. Oto pięć stwierdzeń nazwanych przez Euklidesa aksjomatami:
  1. Wielkości równe tej samej wielkości są równe sobie
  2. Równe dodane do równych, dają równe sumy
  3. Równe odjęte od równych, dają równe różnice
  4. Rzeczy, które się pokrywają, są równe
  5. Całość jest większa od części
Jasny jest ogólny charakter tych stwierdzeń, mogłyby one równie dobrze znaleźć się w Metafizyce Arystotelesa jako naczelne zasady bytu.
Słynnych pięć pewników Euklidesa brzmi w wolnym tłumaczeniu jak następuje:
  1. Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem.
  2. Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie.
  3. Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w dowolnym punkcie i promieniu równym odcinkowi.
  4. Wszystkie kąty proste są równe.
  5. Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwu kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony, jeśli się je odpowiednio przedłuży.
Tu uwaga: w ostatnim pewniku Euklides pisze o prostych używając sformułowania jeśli się je odpowiednio przedłuży. Ta pozorna sprzeczność stanie się zrozumiała, jeżeli wziąć pod uwagę, że Grecy nie posługiwali się pojęciem nieskończoności tak, jak my dziś go używamy. Nieskończoność oznaczała zawsze nieograniczoną możliwość kontynuacji czegoś skończonego, tak więc prosta w ich rozumieniu to jest to, co dziś nazywane jest odcinkiem.
Natychmiast widać, dlaczego piąty pewnik Euklidesa budził tyle wątpliwości wśród całych pokoleń matematyków. Pierwsze ślady tego znajdują się w Komentarzu do pierwszej księgi Elementów Proklosa. Zauważa on, iż sformułowanie tego pewnika zajmuje prawie tyle miejsca, co pozostałych czterech, a "oczywistość" daleka jest od oczywistości. Uporczywe starania, by wyprowadzić piąty pewnik z pozostałych, doprowadziły na początku XVIII wieku Włocha Gerolamo Saccheriego do początków tak zwanej geometrii absolutnej czyli bazującej na czterech pierwszych aksjomatach (choć on sam o tym nie wiedział!).
Dalsze badania matematyków wykazały, że piąty pewnik Euklidesa nie zależy od pierwszych czterech i zastępując go innymi można otrzymywać inne geometrie. Ponieważ pewnik ten równoważny jest stwierdzeniu:
przez punkt nie leżący na danej prostej można poprowadzić jedną i tylko jedną prostą równoległą do danej,
analizowano konsekwencje jego zaprzeczenia. Okazało się, że spójne geometrie można uzyskać w dwóch przypadkach: przez punkt nie leżący na prostej można poprowadzić nieskończenie wiele prostych równoległych do danej, lub nie da się poprowadzić żadnej prostej równoległej. Pierwszą drogą poszli Gauss, Bolyai i Łobaczewski, otrzymując tak zwaną geometrię hiperboliczną, drugą poszedł w połowie XIX stulecia Bernhard Riemann, twórca geometrii eliptycznej. Ostateczną akceptację geometrii nieeuklidesowych zapewniły modele geometrii Bolyai-Łobaczewskiego zaproponowane w XIX w. przez Eugenio Beltramiego oraz Feliksa Kleina.
Z I księgi Elementów pochodzą również dobrze znane wszystkim określenia:
punkt jest tym, co nie ma części;
linia to długość bez szerokości;
powierzchnia to coś, co ma tylko długość i szerokość
i inne. Dziś pojęcia punktu, linii i powierzchni traktujemy jako tak zwane pojęcia pierwotne, tj. nie podlegające definicji (choć de facto aksjomaty definicjami pojęć pierwotnych, tak zwanymi definicjami w uwikłaniu), Euklides jednak najwyraźniej uważał, że czytelnikowi należy podsunąć pewne intuicje. Sam jednak nigdzie do tych intuicji się nie odwołuje.
Oprócz tego w księdze I Euklides opisuje kilka podstawowych konstrukcji geometrycznych (symetralna odcinka, dwusieczna kąta), dowodzi elementarnych własności kątów, trójkąta i twierdzenia Pitagorasa.
Księga II
Poświęcona jest temu, co dziś nazywamy algebrą geometryczną, czyli interpretacjom geometrycznym podstawowych wzorów algebry. Grecy uprawiali bowiem arytmetykę sposobem geometrycznym – na przykład dodawanie liczb realizowali jako dodawanie odpowiednich odcinków. W księdze II Euklides konstruuje między innymi dla danego odcinka o długości \[a\; \] odcinek o długości \[\sqrt{a} \] oraz dowodzi wzorów skróconego mnożenia.
Księga III
To geometria okręgu. Euklides omawia tu pojęcie kąta wpisanego, pojęcie stycznej do okręgu i potęgi punktu względem okręgu.
Księga IV
Omawia zagadnienia możliwości opisania wielokąta na okręgu i okręgu na wielokącie oraz wpisania wielokąta w okrąg i okręgu w wielokąt. Ponadto są tu podane konstrukcje 3-, 4-, 5-, 6-, 10- i 15-kątów foremnych.

Arytmetyka

Księgi V-X omawiają zagadnienia arytmetyczne.
Księga V
Księga V jest najbardziej abstrakcyjną księgą Elementów. Przedstawia teorię proporcji Eudoksosa, w swej idei bardzo zbliżoną do teorii przekrojów Dedekinda. Omówione są w niej wszystkie dobrze znane własności proporcji.
Księga VI
Księga ta zawiera zastosowania teorii proporcji do geometrii, zawiera dowód twierdzenia Talesa, twierdzenia o podobieństwie trójkątów i związkami między stosunkami odcinków a polami powierzchni figur na nich opartych.
Księga VII
Księga VII omawia podstawowe własności liczb: podzielność, liczby pierwsze, pojęcia NWD i NWW oraz algorytm Euklidesa.
Księga VIII
Głównym tematem tej księgi są rozważania na temat postaci liczb \[ {a, b}\; \] spełniających proporcję \[ {a:x = x:b}\; \], czyli konstrukcji ciągów geometrycznych.
Księga IX
Euklides wykorzystuje tu materiał dwóch poprzednich do wykazania, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, konstrukcji liczb doskonałych i sita Eratostenesa.
Księga X
Księga X poświęcona jest odcinkom (wielkościom) niewspółmiernym – odpowiednikom dzisiejszych liczb niewymiernych

Stereometria

Księgi XI–XIII to systematyczny wykład geometrii przestrzeni.
Księga XI
Księga XI przedstawia podstawowe pojęcia geometrii przestrzeni – podaje własności prostych i płaszczyzn w przestrzeni, prostopadłość i równoległość, kąty bryłowe i ich własności. Zamieszczone są tu również sposoby obliczania objętości równoległościanów.
Księga XII
Zawiera opis metody wyczerpywania, która służyła starożytnym do rozwiązywania zadań wymagających całkowania. Dzięki temu możliwe stało się znalezienie wzorów na objętość stożka, ostrosłupa, walca i kuli. Zanotowany jest fakt, że objętości kul mają się do siebie tak, jak sześciany ich promieni.
Księga XIII
Przypuszcza się, że księga ta nie jest dziełem Euklidesa, a została dodana do Elementów później.
Zawiera omówienie złotego podziału odcinka oraz rozważania na temat wielościanów foremnych (tak zwanych brył Platońskich). Ostatnie twierdzenie brzmi: istnieje tylko pięć wielościanów foremnych.
Tu uwaga: podane przez Euklidesa określenie wielościanu foremnego jest nieco odmienne od dzisiejszego. Euklides uważał za foremne wielościany, których ściany są przystającymi wielokątami foremnymi. Dziś żądamy dodatkowo wypukłości takiej bryły i przystawania kątów bryłowych – być może milcząco Euklides przyjmował te założenia za oczywiste. W roku 1947 Hans Freudenthal i van der Waerden znaleźli przykład wielościanów spełniających foremnych w sensie podanym w Elementach, lecz nie foremnych w sensie przyjmowanym dziś.

Znaczenie

Trudno przecenić znaczenie Elementów dla kultury i cywilizacji zachodniej. Na strukturze dzieła Euklidesa wzorowali się zarówno matematycy i fizycy jak Galileusz czy Isaac Newton, jak i filozofowie, by wspomnieć tylko Barucha Spinozę i jego Ethica modo geometrico exposita. Pragnienie ścisłości i logicznej struktury, której wzorem przez stulecia były Elementy, ukształtowało nasz sposób myślenia i już tu można dopatrywać się zaczątków metodologii naukowej, jak ją współcześnie rozumiemy, i późniejszej przewagi technologicznej nad kulturami Dalekiego Wschodu, jaką Zachód zdobył poczynając od XVI wieku. 'Elementy' Euklidesa były używane powszechnie jako podręcznik niemal do końca XIX wieku, czyli przez 2000 lat, zaś liczbą tłumaczeń na rozmaite języki świata ustępują jedynie Biblii.

Bibliografia

  • Marek Kordos, Wykłady z historii matematyki, wyd. Script, Warszawa 2005, ISBN 83-89716-04-6
  • Witold Więsław, Matematyka i jej historia, wyd. Nowik, 1997, ISBN 83-905456-7-5
  • artykuł na angielskiej wikipedii

Linki zewnętrzne

Kilka linków do stron anglojęzycznych poświęconych Elementom:
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.