Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy maksymalnym, jeśli nie ma w tym zbiorze elementu większego od x. Formalnie:
\[\forall y \in P   x \le y \Rightarrow x = y \]

Uwagi

Element maksymalny nie musi być (i na ogół nie jest) elementem największym w zbiorze P. Co więcej, zbiór P może zawierać wiele elementów maksymalnych (patrz przykład poniżej). Jeżeli nawet w zbiorze P istnieje dokładnie jeden element maksymalny, to nie musi on być elementem największym. Z drugiej strony, jeśli istnieje element największy, to jest on tylko jeden i jest jednocześnie elementem maksymalnym.

Przykłady

  • Rozważmy zbiór N∪{-1}, gdzie N oznacza zbiór liczb naturalnych, a relacja ~ częściowego porządku określona jest następująco:
 \[a\sim b\Leftrightarrow a\le b \]
 \[-1 \sim -1 \]
-1 jest jedynym elementem maksymalnym tej relacji lecz nie jest elementem największym.
  • W zbiorze wszystkich rzek rozważmy relację częściowego porządku zdefiniowaną jako jest dopływem. Mamy na przykład:
"Białka" < "Dunajec" < "Wisła"
"Poprad" < "Dunajec" < "Wisła"
"Noteć" < "Warta" < "Odra"
Elementem maksymalnym w tym porządku jest każda rzeka, która nie jest dopływem innej rzeki – Wisła, Odra... Z przykładu widać, że istnieje wiele elementów maksymalnych i nie ma największego (byłaby nim rzeka, do której wpadają wszystkie inne).
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.