Czasoprzestrzeń Minkowskiego

Czasoprzestrzeń Minkowskiego zawdzięcza swa nazwę niemieckiemu matematykowi Hermannowi Minkowskiemu, który około 1907 roku uświadomił sobie, że szczególna teoria względności Einsteina, łącząca czas z trójwymiarową przestrzenią fizyczną może być w elegancki sposób opisana jako teoria pewnej przestrzeni czterowymiarowej.
Czterowymiarowa czasoprzestrzeń Minkowskiego formalnie jest rzeczywistą przestrzenią wektorową, w której zdefiniowana jest forma biliniowa nazywana iloczynem zewnętrznym i oznaczana jako \[, \] (u i v są dwoma wektorami) spełniająca warunki:

1. biliniowości: \[ = a + \], dla wszystkich a, u, v, i w
2. symetryczności: \[ = \]
3. jeśli \[ \] = 0 dla wszystkich w, to v = 0 (forma niezdegenerowana)

Warunek 3 może być osłabiony. Forma \[ \] pozwala zdefiniować długość wektora

\[|v|^2= \]

Wektory jednostkowe e spełniają więc \[|e|=1 \]. Punktowi p w czasoprzestrzeni przyporządkowujemy vektor x o czterech współrzędnych \[x^{\mu}, \mu=(0,1,2,3) \] \[x=x^{\mu}e_{\mu} \] gdzie \[e_{\mu} \] są czterema liniowo niezależnymi wektorami jednostkowymi. Powtarzanie się na przekątnej dwóch wskaźników oznacza sumowanie po \[\mu \] od 0 do 3 (umowa sumacyjna Einsteina). Długość dowolnego wektora do kwadratu to \[|x|^2=< x^{\mu}e_{\mu},x^{\nu}e_{\nu}>=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu} \] gdzie g jest tensorem metrycznym zdefiniowanym przez wszystkie formy dla wektorów jednostkowych \[g_{\mu \nu}= \] Odległość między dwoma punktami o współrzędnych \[(x+dx)^{\mu} \] i \[x^{\mu} \] definiuje odległość (interwał czasoprzestrzenny) \[ds^2=g_{\mu \nu} dx^{\mu}dx^{\nu} \] Przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią globalnie płaską, w której \[g_{\mu \nu}= \eta_{\mu \nu}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix} \]

W jawnej postaci długość wektora z to \[|x|^2 = (x^{0})^2-(x^{1})^2-(x^{2})^2-(x^{3})^2 \] Jeżeli przeważy składowa czasowa \[x^0 \] kwadrat długości \[|x|^2 >0 \] - wektor taki nazywamy czasopodobnym. Jednak w czasoprzestrzeni Minkowskiego kwadrat długości może być \[|x|^2 <0 \] - wektor nazywamy przestrzennopodobnym - gdy przeważy składowa przestrzenna. Przestrzeń Minkowskiego nie jest dobrze zdefiniowaną przestrzenią metryczną. Zbiór punktów dla których kwadrat długości

\[|x|^2 =(x^{0})^2-(x^{1})^2-(x^{2})^2-(x^{3})^2=0 \]

nazywamy stożkiem świetlnym. Jest to niespełnienie warunku 3 dla przestrzeni metrycznej. Zbiór ten ma jednak istotne znaczenie fizyczne. Jest to zbiór punktów w czasoprzestrzeni które można połaczyć promieniem świetlnym (\[x^{0}=c t \] gdzie c jest prędkością światła w próżni). Jeżeli się widzimy, to znajdujemy się w czasoprzestrzeni na stożku świetlnym, interwał czasoprzestrzenny jest równy zero pomimo tego, że w przestrzeni 3 wymiarowej dzieli nas odległość.
Odległość w czasoprzestrzeni niezmiennicza jest względem transformacji \[x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}+a^{\mu} \] Jest to transformacja Poincarego. Zbiór takich transformacji parametryzowanych przez macierze \[\Lambda \] i wektor translacji a tworzy grupę przekształceń Poincarégo - grupę Poincarégo. Zachowanie odległości w czasoprzestrzeni narzuca warunki \[g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\tau}=g_{\rho \tau}. \] Są to macierze Lorentza. Tworzą one grupę Lorentza. Grupa Lorentza jest podgrupą grupy grupę Poincarégo: \[x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}. \] Następną podgrupą jest grupa translacji w czasoprzestrzeni \[x^{\mu} \rightarrow {x'}^{\mu}=x^{\mu}+a^{\mu}. \] Są to ciągle grupy Liego. Grupa translacji parametryzowana jest przez 4 parametry rzeczywiste a grupa Lorentza przez 6 parametrów. Symetrie te zgodnie z twierdzeniem Neother prowadzą do odpowiednich praw zachowania w fizyce.
Ruch w czasprzestrzeni Minkowskiego opisuje trajektoria \[ x^{\mu}(\tau) \] gdzie τ jest parametrem niezminniczym ( nie czasem). Np. można zdefiniowć c dτ= ds gdzie s jest interwałem czasoprzestrzennym , τ nazywamy czasem własnym.

  \[d \tau =dt \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}. \]

Analogicznie do wektora prędkości w przestrzeni 3 wymiarowej zdefiniować można czterowektor prędkości

  \[ u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\{ \frac{c}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \frac{dx^i}{dt}\} \]

i czterowektor pędu

  \[ p^{\mu}=m u^{\mu}. \]

Wektor pędu (μ=i={1,2,3}) w fizyce relatywistycznej ma postać

  \[ p^i=m u^i=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \frac{dx^i}{dt}=m(v)\frac{dx^i}{dt} \]

identyczną jak fizyce nierelatywistycznej jeżeli zamienimy masę spoczynkową m na masę retatywistyczną \[m(v)=\frac{m}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. \] Wielkości te nie są niezależne

\[ u^{\mu}u_{\mu}=g_{\mu \nu}u^{\mu}u^{\nu}=c^2 \]

i podobnie

\[ p^{\mu}p_{\mu}=g_{\mu \nu}p^{\mu}p^{\nu}=m^2 c^2 \]

Stąd otrzymujemy związek \[ p_0=\frac{E_p}{c}=\pm \sqrt{\vec{p}^2+m^2 c^2} \]