Granica ciągu liczbowego to liczba, do której wyrazy tego ciągu zbliżają się nieograniczenie. Mówiąc inaczej, począwszy od pewnego wyrazu wszystkie następne wyrazy ciągu leżą tak blisko granicy, jak tylko chcemy.
Ściślej: niech an oznacza n-ty wyraz ciągu (an) i niech ε oznacza dowolnie obraną liczbę dodatnią. Jeśli przy każdym wyborze ε uda się tak dobrać liczbę naturalną N, że dla wszystkich n większych od N wartości an będą się różnić od pewnej liczby g o nie więcej niż ε, to tę liczbę g nazwiemy granicą ciągu (an).
Powyższa definicja przenosi się niemal bez zmian na ciągi w dowolnych przestrzeniach metrycznych – wystarczy termin "różnić się" zastąpić terminem "leżeć nie dalej niż".
Zatem: punkt p przestrzeni metrycznej jest granicą ciągu pn punktów tej przestrzeni, jeżeli dla dowolnie wybranej liczby dodatniej ε znajdzie się taką liczbę naturalną N, że dla wszystkich n większych od N, odległości między pn i p będą mniejsze od ε
Granicę ciągu oznaczamy symbolem:
\[\lim_{n \to \infty}~a_{n}=g \]

Ciąg, który ma granicę nazywamy ciągiem zbieżnym. W przeciwnym wypadku nazywamy go rozbieżnym.
Przykłady
  • Granicą ciągu 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6... jest 0 — dla dowolnej liczby ε nietrudno wskazać taką liczbę N, że wszystkie odwrotności liczb większych od N będą się różnić od 0 o mniej niż ε. Gdy ε=0,0001 wystaczy wziąć N=10000 — wyrazy o numerach 10001(=1/10001), 10002(=1/10002) i tak dalej różnią się od 0 o mniej niż 0,0001.
  • Granicą ciągu 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7... jest 1 — dla dowolnej liczby ε nietrudno wskazać taką liczbę N, że wszystkie liczby postaci (n-1/n) dla n większych od N będą mniejsze od ε. Gdy ε=0,001 wystaczy wziąć N=1000 — wyrazy o numerach 1001(=1000/1001), 1002(=1001/1002) i tak dalej różnią się od 1 o mniej niż 0,001.
Dowodzi się, że każdy liczbowy ciąg monotoniczny i ograniczony ma granicę. Warunek ten jest w istocie jedną z wersji aksjomatu ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.
Prezentowane filmy poczhodzą z serwisu YouTube, portal zgapa.pl nie jest ich autorem i nie ponosi odpowiedzialności za ich treści.