Wielościan foremny (albo platoński) - jest to wielościan, który spełnia następujące warunki: Jeśli ściany są wielokątami foremnymi (ale nie przystającymi), i w każdym wierzchołku spotyka się ta sama liczba takich samych ścian w tym samym porządku, to wielościan nazywamy półforemnym albo archimedesowskim.
W geometrii euklidesowej istnieje tylko pięć wielościanów foremnych. Są to (w nawiasach alternatywna nazwa pochodząca z greki):
  • czworościan (tetraedr) - o ścianach będących trójkątami równobocznymi
  • sześcian (heksaedr) - o ścianach kwadratowych
  • ośmiościan (oktaedr) - o ścianach będących trójkątami równobocznymi
  • dwunastościan (dodekaedr) - o ścianach będących pięciokątami foremnymi
  • dwudziestościan (ikosaedr) - o ścianach będących trójkątami równobocznymi

Wielościany foremne zwane są także czasami bryłami platońskimi, gdyż Platon jako pierwszy człowiek odnotował fakt istnienia ściśle określonej liczby tych brył.

Dowód

Zgodnie z twierdzeniem Eulera o wielościanach liczba wierzchołków (c0) plus liczba ściań (c2) jest równa liczbie krawędzi (c1) powiększonej o 2:
  • c0 + c2 = c1 + 2
Wszystkie ściany są α-kątami i każda krawędź jest wspólna dla dwóch ścian, więc:
  • αc2 = 2c1
W każdym wierzchołku spotyka się β krawędzi (wynika to z równości kątów) i każda krawędź występuje w 2 wierzchołkach, więc:
  • βc0 = 2c1
Podstawiając:
  • 2c1-1 + β-1) = c1 + 2
  • 2c1-1 + β-1) = 2c1(0.5 + c1-1)
  • α-1 + β-1 = 0.5 + c1-1
  • c1 = (α-1 + β-1 - 0.5)-1
Jak widać c1 istnieje tylko wtedy jeśli suma odwrotności α i β jest większa od 0.5, co ma miejsce tylko dla:
αβc0c1c2Nazwa
33464Czworościan
438126Sześcian
346128Ośmiościan
53203012Dwunastościan
35123020Dwudziestościan

Dochodzą do tego przypadki trywialne dla współczynników mniejszych od 3, które w rzeczywistości są zredukowane do 2 lub mniej wymiarów.
Widać też od razu dualność przypadków o zamienionych współczynnikach α i β.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.