Baza przestrzeni liniowej – pojęcie będące rozwinięciem idei układu współrzędnych kartezjańskich. Baza umożliwia wprowadzenie w przestrzeni liniowej układu współrzędnych.

Definicja

Baza przestrzeni liniowej to maksymalny zbiór wektorów liniowo niezależnych w tej przestrzeni.
Słowo maksymalny może być tu interpretowane tak: każdy inny zbiór wektorów, zawierający bazę jako swój właściwy podzbiór, jest już liniowo zależny.
Bazę przestrzeni liniowej określoną jak wyżej, nazywa się czasem bazą Hamela, dla odróżnienia od innych pojęć bazy, spotykanych w przestrzeniach liniowych.

Inne określenia

Inne, równoważne określenia bazy:
  • Jest to minimalny zbiór wektorów taki, że każdy wektor przestrzeni V jest kombinacją liniową wektorów tego zbioru. Zbiór o tej własności nazywamy zbiorem generującym przestrzeń.
  • Każdy wektor przestrzeni daje się jednoznacznie przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów bazy. Jednoznacznie oznacza tu "tylko jednym sposobem" – jeżeli pewien wektor daje się przedstawić jako kombinacja liniowa wektorów danego zbioru na dwa różne sposoby, to ten zbiór na pewno nie jest bazą przestrzeni.

Przykład

Dany jest zbiór A = {(0, 1), (1, 1), (1, 0)} wektorów w przestrzeni euklidesowej R2. Zauważmy, że wektor (2, 1) można przedstawić jako:
(2, 1) = 2·(1, 0) + 1·(0, 1) oraz
(2, 1) = 2·(1, 1) + (-1)·(0, 1).
Wynika stąd, że A nie jest bazą przestrzeni R2.
Z drugiej strony, niech B = {(1, 1), (1, 0)} i niech (x, y) będzie dowolnym wektorem R2. Szukając przedstawienia wektora (x, y) jako kombinacji liniowej wektorów zbioru B mamy:
(x, y) = α·(1, 1) + β·(1, 0) = (α + β, α) skąd α = y i β = xy.
Zatem przedstawienie wektora (x, y) jako kombinacji liniowej elemetnów zbioru B jest jednoznaczne, co oznacza, że zbiór B jest bazą przestrzeni R2.

Współrzędne wektora w bazie

Niech W będzie bazą przestrzeni V, a
v = αw1w1 + αw2w2 + ... + αwnwn
przedstawieniem wektora v w bazie W. Z definicji bazy, przedstawienie to jest jednoznaczne – biorąc inny układ skalarów (αwi) otrzymamy wektor różny od v. Oznacza to, że wektor v jest jednoznacznie wyznaczony przez reprezentujący go w bazie W układ skalarów (αwi). Układ ten nazywamy układem współrzędnych wektora v w bazie W, a same skalary współrzędnymi wektora.

Przykład

Z poprzedniego przykładu wynika, że współrzędne wektora (-3, 4) w bazie B są równe 4(1,1), -7(1,0). Indeksy przy współrzędnych wskazują, z którym wektorem należy łączyć daną współrzędną – zmiana kolejności współrzędnych dałaby wektor 4·(1, 0) + (-7)(1, 1) = (-3, -7).

Istnienie bazy

Okazuje się, że każda przestrzeń liniowa ma bazę. Dowód tego faktu przebiega różnie w zależności od tego, czy w danej przestrzeni istnieje skończony zbiór generujący tę przestrzeń, czy nie. W tym drugim przypadku należy odwołać się do lematu Kuratowskiego-Zorna.
Każdy zbiór liniowo niezależnych wektorów można uzupełnić tak, by otrzymać bazę przestrzeni. Na odwrót, z każgego zbioru wektorów generującego przestrzeń, można wybrać podzbiór, który jest jej bazą.

Wymiar przestrzeni liniowej

Wszystkie bazy przestrzeni liniowej są równoliczne. Fakt ten pozwala określić wymiar przestrzeni liniowej jako moc jej dowolnej bazy. Tak określony wymiar przestrzeni liniowej nazywa się często wymiarem Hamela, w odróżnieniu od innych pojęć wymiaru stosowanych w matematyce.
Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończenie wymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.

Przestrzenie euklidesowe

Dowolna przestrzeń euklidesowa jest oczywiście skończenie wymiarowa. Jej bazę złożoną z wektorów (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) nazywamy bazą kanoniczną. Układ współrzędnych dowolnego wektora v = (v1, v2, ..., vn) w bazie kanonicznej pokrywa się z jego współrzędnymi w sensie przestrzeni euklidesowej.

Uogólnienia

W przestrzeniach liniowych topologicznych częściej niż rozważane tu pojęcie bazy Hamela ważniejszą rolę odgrywa pojęcie bazy zdefiniowane jako liniowo niezależny zbiór wektorów, o tej własności, że każdy wektor jest sumą nieskończonego ciągu wektorów bazowych. Dotyczy to w szczególności przestrzeni Hilberta i przestrzeni Banacha. W przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia oczywiście się pokrywają.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.