Aksjomaty teorii ZF:
  • Aksjomat ekstensjonalności. Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.
  • :\[\forall A, \forall B: A=B \iff (\forall C: C \in A \iff C \in B) \]
  • Aksjomat pary. Dla każdych dwóch zbiorów istnieje zbiór zawierający jako elementy dokładnie te dwa zbiory.
  • :\[\forall A, \forall B, \exist C, \forall D: D \in C \iff (D = A \or D = B) \]
  • Aksjomat sumy. Dla każdego zbioru x istnieje zbiór, do którego należą wszystkie elementy elementów zbioru x i nic więcej.
  • :\[\forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff (\exist D: C \in D \and D \in A) \]
  • Aksjomat nieskończoności. Istnieje zbiór induktywny, czyli taki, że należy do niego zbiór pusty oraz jeśli należy do niego zbiór y, to należy także suma y i zbioru jednoelementowego, którego jedynym elementem jest y.
  • :\[\exist \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \and (\forall A: A \in \mathbf{N} \implies A \cup \{A\} \in \mathbf{N}) \]
  • Aksjomat zastępowania (nazywany także aksjomatem wycinania). Przekrój dowolnego zbioru i klasy zdefiniowanej przez dowolną formułę jest zbiorem.
  • :\[(\forall X, \exist!\, Y: P(X, Y)) \rightarrow \forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff \exist D: D \in A \and P(D, C) \]
  • Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru x istnieje jego zbiór potęgowy, czyli zbiór, do którego należą wszystkie podzbiory zbioru x.
  • :\[\forall A, \exists\; {\mathcal{P}A}, \forall B: B \in {\mathcal{P}A} \iff (\forall C: C \in B \implies C \in A) \]
  • Aksjomat regularności (ufundowania). Każdy niepusty zbiór x zawiera pewien element y taki, że x i y są rozłączne.
  • :\[\forall A: A \neq \varnothing \implies \exists B: B \in A \land \lnot \exist C: C \in A \land C \in B \]
Jest on niezależny od pozostałych aksjomatów, czasem rozważane są teorię, w których jako aksjomat przyjmuje się jego negację. Występujące w takich teoriach nieufundowane zbiory nosza nazwę hiperzbiorów.
Czasem dołącza się również Aksjomat istnienia. Istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element (zbiór pusty):
\[\exist \varnothing, \forall A: \lnot (A \in \varnothing) \].
Istnieje jednak możliwość udowodnienia go jako twierdzenia, więc nie jest on konieczny.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.