Aksjomat ciągłości zbioru liczb rzeczywistych mówi, że każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.
Alternatywnie: każdy niepusty i ograniczony z dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres dolny.
Aksjomat ma oddawać nasze intuicje, że oś liczbowa jest ciągła, nie ma w niej "dziur" – jeśli wskażę dowolne "miejsce" na osi liczbowej, to odpowiada mu pewna liczba rzeczywista.
Następujące twierdzenie jest równoważne z aksjomatem ciągłości i samo mogłoby być przyjęte jako aksjomat: każdy rosnący i ograniczony z góry ciąg liczb rzeczywistych jest zbieżny.
W zbiorze liczb wymiernych tak nie jest: na przykład zbiór tych liczb wymiernych, których kwadraty są mniejsze od 2 jest niepusty (należy do niego np. 1), ograniczony z góry (każda liczba tego zbioru jest na przykład mniejsza od 2), ale nie ma kresu górnego — nie ma liczby wymiernej, która byłaby najmniejszym ograniczeniem górnym tego zbioru.
Aksjomat ciągłości gwarantuje, że w zbiorze liczb rzeczywistych sytuacja taka nie ma miejsca, tzn. zawsze istnieje liczba rzeczywista, która jest najmniejszym ograniczeniem górnym.
Jeszcze inne sformułowanie aksjomatu ciągłości korzysta z pojęcia przekroju Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych: jeżeli zbiory A i B tworzą przekrój Dedekinda zbioru liczb rzeczywistych, to albo w A istnieje liczba największa, albo w B - najmniejsza.
Publikacja wraz ze zdjęciami jest udostępniona w Encyklopedii "Zgapedia" części portalu zgapa.pl. Treść objęta jest licencją GNU FDL Wolnej Dokumentacji w wersji 1.3 lub dowolnej pózniejszej opublikowanej przez Free Software Foundation i została ona opracowana na podstawie Wikipedii, tutaj możesz znaleźć artykuł źródłowy oraz autorów. Warunki użytkowania Encyklopedii znajdziesz na tej stronie.