Czytaj więcej"/> Drukuj
Pojęcie wymiaru jest uogólnieniem naturalnych intuicji, że prosta jest obiektem jedno-, płaszczyzna dwu-, a przestrzeń trój-wymiarowym. W zależności od sposobu dokonywania uogólnień otrzymujemy jednak różne definicje wymiaru – na szczęście zagadzają się one dla przestrzeni euklidesowej, z której wynosimy nasze doświadczenia. Z całą pewnością można więc twierdzić, że żyjemy w "trzech wymiarach".

Wymiar przestrzeni liniowej

Wymiar przestrzeni liniowej, to liczba (albo moc, w przypadku gdy przestrzeń nie ma bazy skończonej) elementów dowolnej bazy tej przestrzeni.
Wymiar przestrzeni euklidesowej Rn wynosi n, a ponieważ zdaje się, że przestrzeń R3 dość dobrze opisuje świat bezpośrednio dostępny naszym zmysłom, można stwierdzić, że żyjemy w przestrzeni trójwymiarowej.

Wymiar pokryciowy Cecha-Lebesgue'a (topologia)

Dowolnej przestrzeni normalnej X można przypisać wymiar pokryciowy Cecha-Lebegue'a, który będziemy oznaczać dimX. Wymiar dimX jest liczbą całkowitą nie mniejszą niż -1, lub jest nieskończony. Wymiar definiują następujące warunki:
(CL1) dimX<=n, jeśli w każde skończone pokrycie otwarte przestrzeni X można wpisać skończone pokrycie otwarte takie, że każde n+2 zbiory tego pokrycia mają puste przecięcie.
(CL2) dimX=n, jeśli dimX<=n, ale nieprawda, że dimX<=n-1.
(CL3) dimX jest nieskończony, jeśli dla żadnej liczby n nie zachodzi warunek (CL1).

Zauważmy, że ciężar definicji tkwi w warunku (CL1); dwa pozostałe warunki mają charakter porządkujący.

Historia pojęcia Wymiar pokryciowy został zdefiniowany i zbadany przez E. Cecha w pracy z 1933. Pojęcie nawiązuje do odkrytej przez Lebesgue'a własności kostki n-wymiarowej.
Intuicja Zauważmy (a pierwszy uczynił to Henri Lebesgue w 1911 roku), że możemy pokryć odcinek jednostkowy I rodziną odcinków o dowolnie małej (z góry zadanej) długości, w taki sposób, że każda trójka odcinków ma puste przecięcie. Nie da się jednak tego uczynić tak, by każda para była rozłączna.
Z kolei kwadrat zawsze możemy pokryć prostokątami o dowolnie krótkim (znowu z góry zadanym) dłuższym boku, w taki sposób, że każde cztery małe prostokąty nie przecinają się. Ale nie możemy pokryć go prostokątami w taki sposób, żeby trójki prostokątów się nie przecinały.
Wreszcie, możemy sześcian wypełnić skończoną rodziną dowolnie małych prostopodłościanów (wyobraźmy sobie cegły) w taki sposób, że każde pięć będzie miało pustą część wspólną. Ale cztery prostopadłościany mogą mieć niepuste przecięcie (cztery cegły muszą się stykać).
Dodajemy teraz, że Lebesgue podał dowody powyższych obserwacji i to nie tylko dla przypadku pokryć "cegiełkami" odpowiedniego wymiaru, ale dla pokryć dowolnymi zbiorami. Twierdzenie to legło u podstaw budowy teorii wymiaru pokryciowego Cecha-Lebesgue'a.
Literatura Ryszard Engelking Teoria wymiaru, Warszawa 1981; Roman Duda O pojęciu wymiaru, Warszawa 1972.

Wymiar rozmaitości topologicznej

Na mocy definicji, rozmaitość topologiczna jest lokalnie homeomorficzna z pewną przestrzenią Rn. Wtedy n jest wymiarem rozmaitości.

Wymiar Hausdorffa

Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-04-16 14:14:34