Czytaj więcej"/> Drukuj
Wektor – w fizyce i technice pojęcie wektora związane jest z wielkością, której można przypisać dość ogólnie rozumianą "wartość" i "kierunek" w przestrzeni, niekoniecznie trójwymiarowej. W matematyce pojęcie to uległo daleko idącej generalizacji i związane jest z pojęciem przestrzeni wektorowej. Ten artykuł omawia rozmaite aspekty pojęcia wektora w przestrzeni trójwymiarowej.
Typowym przykładem wektora jest siła – ma ona zawsze pewną wartość, kierunek i zwrot w przestrzeni trójwymiarowej (liczba wymiarów nie ma tu większego znaczenia), a kilka różnych sił przyłożonych do tego samego obiektu daje w wyniku siłę wypadkową zgodnie z regułą równoległoboku.
Innym przykładem wektora jest prędkość poruszającego się punktu – by określić ją w pełni należy jak poprzednio podać jej wartość (zwaną czasem szybkością), kierunek oraz zwrot. Określenie "ucieka z szybkością 180 km/h autostradą A1 w kierunku Gdańska" niesie ze sobą te właśnie informacje – mamy tu wartość (180 km/h), kierunek (autostrada A1) i zwrot (na Gdańsk). Brak którejkolwiek z nich powoduje, że opis ruchu nie jest pełny.
Bardziej formalnie, wektor to wielkość, której współrzędne zmieniają się w określony sposób przy obrót prostokątnego układu współrzędnych.
W języku geometrii różniczkowej wektor jest elementem przestrzeni stycznej do danej rozmaitości różniczkowej w jej danym punkcie.
Uogólnieniem pojęcia wektora jest tensor.

Definicje

Stwierdzenie, że wektor charakteryzuje się wartością, kierunkiem i zwrotem z matematycznego punktu widzenia oznacza, że jego składowe zmieniają się podczas obrotu układu współrzędnych w ten sam sposób jak współrzędne punktów przestrzeni.
Jeżeli A jest macierzą obrotu, a x oznacza współrzędne dowolnego punktu przestrzeni, to w obróconym układzie współrzędnych współrzędne te będą równe x′ = A · x – jeśli składowe danej wielkości w "starym" i "nowym" (obróconym) układzie współrzędnych związane są ze sobą analogiczną zależnością v′ = A · v, to jest ona wektorem.
Ogólniej, wektor jest tensorem kontrawariantnym rzędu jeden.
Przykładami wektorowych wielkości fizycznych są obok prędkości i siły: pęd, przemieszczenie, przyspieszenie, pole elektryczne.
Między wektorami a wielkościami skalarnymi jest wyraźna różnica: wielkości skalarne takie jak odległość, energia, czas, temperatura, ładunek elektryczny, moc, czy masa są w pełni scharakteryzowane przez swoją wartość.
W fizyce oprócz wektorów występują również pseudowektory (lub wektory osiowe). Są to wielkości, których składowe podczas obrotów niewłaściwych układu współrzędnych zmieniają znak na przeciwny. Przykładem są tu pole magnetyczne, moment siły i moment pędu. Rozróżnienie na wektory i pseudowektory jest czasami zaniedbywane – nabiera ono znaczenia dopiero, gdy rozważa się własności symetrii równań opisujących zjawiska. Prostym sposobem odróżnienia wektora od pseudowektora jest przedstawienie wybranego zjawiska w zwierciadle. Wektory odbijają się tak jak obrazy a pseudowektory zmieniają zwrot.

Reprezentacja wektorów

W druku wektory oznacza się najczęściej czcionką pogrubioną: a, b, ... Inne sposoby oznaczania wektorów to umieszczanie strzałki nad literą \[\vec{a} \] lub (rzadziej) podkreślanie: a; używa się również znaku tyldy pod symbolem. Wartość wektora a (odpowiednik długości w matematyce) oznacza się symbolem ||a|| i często nazywa jego normą.
Wektory często reprezentuje się graficznie jako strzałki:

Tutaj punkt A nazywa się początkiem lub punktem zaczepienia wektora, natomiast punkt B jego końcem. Długość strzałki powinna być związana z wartością wektora, a jej kierunek z kierunkiem wektora.
Strzałkę reprezentującą wektor z rysunku powyżej można zapisać jako \[\vec{AB} \] lub AB.
Mimo swej poglądowości, reprezentacja graficzna jest niewygodna jeśli chodzi o działania na wektorach. W n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej każdy wektor można przedstawić jednoznacznie jako kombinację liniową wzajemnie prostopadłych wektorów jednostkowych (tj. od wartości – długości – równej 1). Dla n=3 wektory te mają standardowe oznaczenia: wektor jednostkowy równoległy do osi OX oznaczamy symbolem i, równoległy do osi OY symbolem j, a równoległy do osi OZ symbolem k. Zatem, dowolny wektor a w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej R3 można jednoznacznie zapisać jako:
\[\mathbf{a}=a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k} \].
Liczby rzeczywiste al nazywamy współrzędnymi wektora i są one jednoznacznie wyznaczone przez sam wektor a, który wobec tego zapisuje się często w postaci kolumnowej:
\[{a} = \begin{bmatrix}
a_1\\

a_2\\

a_3\\

\end{bmatrix} \] lub wierszowej
\[ {a} = \begin{pmatrix}
a_1 & a_2 & a_3 \\

\end{pmatrix} \]

Długość wektora

Długość (wartość) wektora a = a1i + a2j + a3k to liczba równa:
\[\left|\left|\mathbf{a}\right|\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \]

Wzór ten jest natychmiastową konsekwencją twierdzenia Pitagorasa obowiązującego w geometrii euklidesowej.

Wektor zerowy

Dla pełności teorii wygodnie jest przyjąć istnienie tak zwanego wektora zerowego. Jest to wektor o nieokreślonym kierunku i zwrocie oraz długości równej 0. Dodanie (lub odjęcie) wektora zerowego do innego wektora nie zmienia tego wektora.

Równość wektorów

Dwa wektory uznajemy za równe, gdy mają tę samą wartość, kierunek i zwrot. W przypadku wektorów zaczepionych dodatkowym warunkiem jest równość punktów zaczepienia. Dla przykładu, wektory: i + 2j + 3k zaczepiony w punkcie (1,0,0) i i+2j+3k zaczepiony w punkcie (0,1,0) są równe, ale jeśli traktować je jako wektory zaczepione – nie.

Suma i różnica wektorów

Niech a=a1i + a2j + a3k i b=b1i + b2j + b3k będą dwoma wektorami. Ich sumę określamy jako:
\[\mathbf{a}+\mathbf{b}
=(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k} \]
Graficzną interpretacją dodawania wektorów jest tak zwana reguła równoległoboku:
Wektor -

lub reguła trójkąta:
Wektor -

Różnicę wektorów a i b określamy następująco:
\[\mathbf{a}-\mathbf{b}
=(a_1-b_1)\mathbf{i} +(a_2-b_2)\mathbf{j} +(a_3-b_3)\mathbf{k} \]
Geometrycznie:
Wektor -

według reguły równoległoboku i
Wektor -

według reguły trójkąta.

Mnożenie przez skalar

Wektor można pomnożyć przez skalar – czyli w naszej sytuacji liczbę rzeczywistą. Jeżeli a jest wektorem, a r skalarem, to iloczynem ra' wektora a przez skalar r nazywamy wektor:
\[r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i}
+(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k} \]
Jego długość równa jest |r||a|, kierunek taki sam jak kierunek wektora a, a zwrot zgodny ze zwrotem a, gdy r>0 i przeciwny do zwrotu a, gdy r<0.
Tak określone mnożenie spełnia podstawowe własności algebraiczne – jest między innymi łączne i rozdzielne.

Wersor

Wersorem, albo wektorem jednostkowym, nazywamy dowolny wektor o długości równej 1. Z każdym wektorem niezerowym wektorem a, można stowarzyszyć pewien wersor, który jest zgodnie z nim skierowany. Mianowicie, łatwo sprawdzić, że wektor:
\[\mathbf{a_u}=\frac{\mathbf{a}}{\left|\mathbf{a}\right=\frac{a_1}{\left|\mathbf{a}\right\mathbf{i}+\frac{a_2}{\left|\mathbf{a}\right\mathbf{j}+\frac{a_3}{\left|\mathbf{a}\right\mathbf{k} \]

Ma długość jeden i jest skierowany zgodnie z wektorem a.

Iloczyn skalarny

Iloczyn skalarny wektorów a i b (zwany czasem iloczynem wewnętrznym) jest liczbą, określoną jak następuje:
\[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}
=\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\cos(\theta) \]
gdzie θ jest miarą kąta pomiędzy wektorami a i b. Jeśli
Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne wektorów a i b wygląda następująco:
Sens geometryczny iloczynu skalarnego jest następujący: jeśli narysować a i b jako zaczepione w jednym punkcie, to a·b jest iloczynem długości wektora a i rzutu równoległego wektora b na kierunek wektora a. Na przykład, w fizyce, praca wykonana nad ciałem przez siłę F jest iloczynem skalarnym wektora tej siły i wektora o jaki przesunęła ona ciało.

Iloczyn wektorowy

Iloczyn wektorowy wektorów a i b (zwany też iloczynem zewnętrznym) jest wektorem określonym następująco:
\[\mathbf{a}\times\mathbf{b}
=\left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\sin(\theta)\mathbf{n} \]
gdzie θ jest miarą kąta między wektorami a i b, a n jest wektorem jednostkowym prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i b oraz skierowanym tak, by orientacja układu wektorów a, b i a×b była zgodna z orientacją wersorów osi układu współrzędnych.
W praktyce powszechnie wykorzystuje się układ współrzędnych zorientowany prawoskrętnie – oznacza to, że wersory i, j, k osi układu skierowane są zgodnie z kierunkami wyznaczonymi przez kciuk, palec wskazujący i palec środkowy (w tej właśnie kolejności) prawej dłoni. Chcąc zatem wyznaczyć kierunek iloczynu a×b należy ustawić kciuk zgodnie z kierunkiem wektora a i palec wskazujący zgodnie z kierunkiem wektora b, a wówczas palec środkowy wskaże kierunek wektora a×b. Zauważmy, że tak określony iloczyn wektorowy nie jest przemienny, to znaczy mnożąc b przez a otrzymamy inny wynik! Dokładniej,
a×b = – b×a.

Wynika stąd, że a×b jest pseudowektorem.
Geometrycznie długość wektora a×b można interpretować jako pole równoległoboku rozpiętego na wektorach a i b.
Podane tu określenie iloczynu wektorowego ma sens jedynie w geometrii trójwymiarowej, choć daje się uogólnić na więcej wymiarów.

Iloczyn mieszany wektorów

Iloczyn mieszany jest działaniem, które trójce wektorów a, b, c przypisuje liczbę oznaczaną (abc) i określoną następująco:
\[(\mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c})
=\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) \]
Główne zastosowania iloczynu mieszanego są trojakie. Przede wszystkim, wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wyraża objętość równoległościanu rozpiętego na danych wektorach. Dalej, iloczyn mieszany trzech wektorów jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są liniowo zależne. I wreszcie, iloczyn mieszany jest liczbą dodatnią, wtedy i tylko wtedy, gdy trójka wektorów zorientowana jest zgodnie z trójką wersorów i, j, k osi układu współrzędnych.
Jeżeli wektory a, b, c dane są przez swoje współrzędne w postaci kolumnowej, to iloczyn mieszany tych wektorów równy jest wyznacznikowi macierzy kwadratowej utworzonej z wektorów.

Uogólnienia

W matematyce wektor oznacza element pewnej przestrzeni wektorowej. Tak rozumiane wektory są w pełni określone wyłącznie przez swoje własności formalne i mogą one być bardzo różnorodnymi obiektami: ciągami, macierzami lub przekształceniami przestrzeni. Najogólniejszym schematem dla tak rozumianego wektora jest funkcja funkcjami. W szczególności, tak rozumianymi wektorami są również tensory.
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-02-24 22:03:20