W fizyce transformacje Lorentza opisują zależności między współrzędnymi i czasem tego samego zdarzenia w dwóch inercjalnych układach odniesienia wg szczególnej teorii względności. Wg klasycznej mechaniki zależność między czasem i współrzędnymi opisują transformacje Galileusza.
Podejście historyczne
Transformacje Lorentza mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjanskich inercjalnych układów odniesienia, nieruchomego K i poruszającego się K', są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym układ K' porusza się ze stałą prędkością V (u) wzdłuż osi OX. Jeśli ponadto jako początek odliczania czasu w obu układach (t=0) i (t'=0) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O' w obu układach pokrywają się, to transformacje Lorentza są w postaci:- \[x' = \gamma (x - ut) \]
- \[y' = y \]
- \[z' = z \]
- \[t' = \gamma \left(t - \frac{u x}{c^{2}} \right) \]
- \[\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \]
Podejście nowoczesne
Rozpatrujemy czterowektory, których jedną współrzędną (numerowaną od 0) jest składowa czasowa jakiejś wielkości, a pozostałymi trzema współrzędnymi - klasyczne składowe przestrzenne. W wartościach współrzędnych czterowektorów kryje się wybór konkretnego układu współrzędnych. Aby uzyskać współrzędne interesujących nas wektorów w innym układzie, należy dokonać transformacji (stosujemy konwencję sumacyjną Einsteina):- \[w^{\alpha'} = \Lambda^{\alpha'}_{\alpha} v^{\alpha} \]
gdzie:
- \[v^{\alpha} \] - wektor w oryginalnym układzie współrzędnych
- \[w^{\alpha'} \] - wektor w nowym układzie współrzędnych
- \[\Lambda^{\alpha'}_{\alpha} \] - przekształcenie między starym a nowym układem współrzędnych.
Tensorem metrycznym (metryką) przestrzeni Minkowskiego jest macierz 4x4 której składową (0,0) jest -1, pozostałymi składowymi diagonalnymi jest 1, a wszystkimi innymi składowymi - 0. Metrykę oznaczamy literą g. Aby przekształcenie było transformacją Lorentza, musi pozostawiać metrykę niezmienioną, a wyznacznik jego macierzy musi wynosić 1 lub -1.
- \[\Lambda^{\alpha'}_{\alpha} \Lambda^{\beta'}_{\beta} g^{\alpha \beta} = g^{\alpha' \beta'} \]
- \[|det(\Lambda^{\alpha'}_{\alpha})| = 1 \]
Podgrupy
Jeżeli zażądamy, żeby wyznacznik macierzy przekształcenia Lorentza był równy dokładnie 1, uzyskamy grupę Lorentza bez odbić przestrzennych.Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne z wymiarem czasowym są równe 0, z wyjątkiem elementu diagonalnego, który jest równy 1, nazywamy obrotem.
Przekształcenie Lorentza, którego wszystkie współrzędne bez wymiaru czasowego są równe 0, z wyjątkiem elementów diagnalnych, które są równe 1, nazywamy pchnięciem. Pchnięcie przekształca układ współrzędnych w układ poruszający się względem oryginalnego ze stałą prędkością.
Przekształcenia Lorentza bez przesunięć (translacji), czyli takie, które przekształcają początek układu współrzędnych w samego siebie, nazywane są jednorodnymi przekształceniami Lorentza. Przekształcenia Lorentza rozpatrywane razem z przesunięciami nazywają się niejednorodnymi przekształceniami Lorentza.