Teoria mnogości (nazywana również
teorią zbiorów) jest działem
matematyki i jednocześnie
logiki matematycznej zapoczątkowanym przez niemieckiego matematyka
Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak z czasem, wraz ze zwycięstwem
logicyzmu (a nastepnie formalizmu) w matematyce, zaczęła pełnić rolę podstawy, na której opierają się wszelkie matematyczne rozważania. Na przestrzeni lat metody teorii mnogości przeniknęły do wielu działów matematyki, choć nadal żywa jest także teoria mnogości jako samodzielna dyscyplina (kombinatoryka nieskończona, deskryptywna teoria mnogości).
Należy także wspomnieć, że miały miejsce również inne próby stworzenia teorii stanowiącej podstawy matematyki jak intuicjonizm postulujący jako fundament matematyki
teorie liczb naturalnych, bliski mu konstruktywizm postulujący oparcie podstaw matematyki na koncepcjach
finitystycznych jak
rekurencja czy obliczalność, a z bardziej współczesnych
teoria kategorii.
Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia
mocy (czyli "liczby elementów") zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób
wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór
liczb naturalnych jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór
liczb wymiernych, ale już nie tej samej co zbiór
liczb rzeczywistych. Dowód tego faktu (wykorzystujący tak zwane
rozumowanie przekątniowe) znał już
Carl Gauss, jednakże uzyskany wynik był dla niego zbyt szokujący i niemiecki matematyk uznał go za
paradoks, którym nie warto się zajmować. Cantor był pierwszym, który przeszedł nad tym "paradoksem" do porządku dziennego, co pozwoliło rozwinąć potężny i ważny dział matematyki. Jednak również i dzisiaj są matematycy, którzy uważają tego typu rozważania teoriomnogościowe za zbyt oddalone od intuicji i rzeczywistości.
Teoria mnogości rozwinęła całą hierarchię zbiorów nieskończonych opartą na koncepcji
liczb porządkowych. Strukturę tej hierarchii bada
kombinatoryka nieskończona. Natomiast
deskryptywna teoria mnogości zajmuje się badaniem mnogościowego aspektu obiektów matematycznych takich jak na przykład prosta rzeczywista.
Odkrycie przez
Bertranda Russella paradoksów logicznych związanych z pojęciem
zbioru sprowokowało
Ernsta Zermelo do sformułowania w 1908 roku aksjomatycznej teorii zbiorów. Aksjomaty, które wyłoniły się z wielu podejść do aksjomatyzacji matematyki i są obecnie najczęściej używane noszą nazwę
aksjomatów Zermelo-Fraenkela.
Teorię opartą na tych aksjomatach oznacza się
ZF (lub
ZFC, jeśli zakłada się również
aksjomat wyboru).
Elementami
uniwersum dowolnego
modelu teorii mnogości są
zbiory, a jedyną
relacją w jej
języku jest relacja należenia. W języku tym swoją interpretację posiadają wszystkie "sensowne" obiekty matematyczne. Na przykład
funkcje to pewne zbiory
par uporządkowanych (które oczywiście również są zbiorami); liczba 0 to zbiór pusty; liczba 1 to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty; liczba 2 to zbiór, którego jedynymi elementami są liczba 1 i zbiór pusty i tak dalej. Podobnie można zakodować również bardziej skomplikowane byty (na przykład
liczby rzeczywiste, rozmaite
struktury algebraiczne czy
przestrzenie topologiczne) oraz zapisywać twierdzenia ich dotyczące. Tak naprawdę potrzeba do tego jedynie zbioru pustego, relacji należenia i aksjomatów teorii mnogości.
Matematyków obchodzi tu jedynie fakt, że można w ten sposób (używając zbioru jako
pojęcia pierwotnego) sformalizować matematykę. Nikt przy zdrowych zmysłach nie będzie uprawiał, dajmy na to, geometrii posługując się jedynie pojęciem zbioru, relacją należenia i wywodząc wszystkie twierdzenia wprost z aksjomatów teorii mnogości. Wcześniej (przed powstaniem
aksjomatycznej teorii mnogości) próbowano oprzeć matematykę na pojęciach
liczby i
wielkości.
Aksjomaty teorii
ZF są opisane poniżej.
- Aksjomat ekstensjonalności. Dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.
- :\[\forall A, \forall B: A=B \iff (\forall C: C \in A \iff C \in B) \]
- Aksjomat istnienia. Istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element (jest to oczywiście zbiór pusty).
- :\[\exist \varnothing, \forall A: \lnot (A \in \varnothing) \]
- Aksjomat pary. Dla każdych dwóch zbiorów istnieje zbiór zawierający jako elementy dokładnie te dwa zbiory.
- :\[\forall A, \forall B, \exist C, \forall D: D \in C \iff (D = A \or D = B) \]
- Aksjomat sumy. Dla każdego zbioru x istnieje zbiór, do którego należą wszystkie elementy elementów zbioru x i nic więcej.
- :\[\forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff (\exist D: C \in D \and D \in A) \]
- Aksjomat nieskończoności. Istnieje zbiór taki, że należy do niego zbiór pusty oraz jeśli należy do niego zbiór y, to należy także suma y i zbioru jednoelementowego, którego jedynym elementem jest y.
- :\[\exist \mathbf{N}: \varnothing \in \mathbf{N} \and (\forall A: A \in \mathbf{N} \implies A \cup \{A\} \in \mathbf{N}) \]
- Aksjomat zastępowania (nazywany także aksjomatem wycinania). Przekrój dowolnego zbioru i klasy zdefiniowanej przez dowolną formułę jest zbiorem.
- :\[(\forall X, \exist!\, Y: P(X, Y)) \rightarrow \forall A, \exist B, \forall C: C \in B \iff \exist D: D \in A \and P(D, C) \]
- Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru x istnieje jego zbiór potęgowy, czyli zbiór, do którego należą wszystkie podzbiory zbioru x.
- :\[\forall A, \exists\; {\mathcal{P}A}, \forall B: B \in {\mathcal{P}A} \iff (\forall C: C \in B \implies C \in A) \]
- Aksjomat regularności. Każdy niepusty zbiór x zawiera pewien element y taki, że x i y są rozłączne.
- :\[\forall A: A \neq \varnothing \implies \exists B: B \in A \land \lnot \exist C: C \in A \land C \in B \]
Oprócz aksjomatów
ZF rozważa się wiele innych, na przykład:
Są to zdania, które są niezależne od aksjomatów teorii mnogości (czyli ani one ani ich
negacje nie wynikają z aksjomatów
ZF) i których założenie może matematykowi pomóc w wykazaniu, że jakieś rozważane przez niego zdanie nie jest sprzeczne z aksjomatami
ZF.