Czytaj więcej"/> Drukuj
Teoria mnogości (nazywana również teorią zbiorów) jest działem matematyki i jednocześnie logiki matematycznej zapoczątkowanym przez niemieckiego matematyka Georga Cantora pod koniec XIX wieku. Początkowo wzbudzała wiele kontrowersji, jednak z czasem, wraz ze zwycięstwem logicyzmu (a nastepnie formalizmu) w matematyce, zaczęła pełnić rolę podstawy, na której opierają się wszelkie matematyczne rozważania. Na przestrzeni lat metody teorii mnogości przeniknęły do wielu działów matematyki, choć nadal żywa jest także teoria mnogości jako samodzielna dyscyplina (kombinatoryka nieskończona, deskryptywna teoria mnogości).
Należy także wspomnieć, że miały miejsce również inne próby stworzenia teorii stanowiącej podstawy matematyki jak intuicjonizm postulujący jako fundament matematyki teorie liczb naturalnych, bliski mu konstruktywizm postulujący oparcie podstaw matematyki na koncepcjach finitystycznych jak rekurencja czy obliczalność, a z bardziej współczesnych teoria kategorii.
Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli "liczby elementów") zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne. Cantor dowiódł jednak, że zbiór liczb naturalnych jest wprawdzie tej samej mocy co zbiór liczb wymiernych, ale już nie tej samej co zbiór liczb rzeczywistych. Dowód tego faktu (wykorzystujący tak zwane rozumowanie przekątniowe) znał już Carl Gauss, jednakże uzyskany wynik był dla niego zbyt szokujący i niemiecki matematyk uznał go za paradoks, którym nie warto się zajmować. Cantor był pierwszym, który przeszedł nad tym "paradoksem" do porządku dziennego, co pozwoliło rozwinąć potężny i ważny dział matematyki. Jednak również i dzisiaj są matematycy, którzy uważają tego typu rozważania teoriomnogościowe za zbyt oddalone od intuicji i rzeczywistości.
Teoria mnogości rozwinęła całą hierarchię zbiorów nieskończonych opartą na koncepcji liczb porządkowych. Strukturę tej hierarchii bada kombinatoryka nieskończona. Natomiast deskryptywna teoria mnogości zajmuje się badaniem mnogościowego aspektu obiektów matematycznych takich jak na przykład prosta rzeczywista.
Odkrycie przez Bertranda Russella paradoksów logicznych związanych z pojęciem zbioru sprowokowało Ernsta Zermelo do sformułowania w 1908 roku aksjomatycznej teorii zbiorów. Aksjomaty, które wyłoniły się z wielu podejść do aksjomatyzacji matematyki i są obecnie najczęściej używane noszą nazwę aksjomatów Zermelo-Fraenkela. Teorię opartą na tych aksjomatach oznacza się ZF (lub ZFC, jeśli zakłada się również aksjomat wyboru).
Elementami uniwersum dowolnego modelu teorii mnogości są zbiory, a jedyną relacją w jej języku jest relacja należenia. W języku tym swoją interpretację posiadają wszystkie "sensowne" obiekty matematyczne. Na przykład funkcje to pewne zbiory par uporządkowanych (które oczywiście również są zbiorami); liczba 0 to zbiór pusty; liczba 1 to zbiór, którego jedynym elementem jest zbiór pusty; liczba 2 to zbiór, którego jedynymi elementami są liczba 1 i zbiór pusty i tak dalej. Podobnie można zakodować również bardziej skomplikowane byty (na przykład liczby rzeczywiste, rozmaite struktury algebraiczne czy przestrzenie topologiczne) oraz zapisywać twierdzenia ich dotyczące. Tak naprawdę potrzeba do tego jedynie zbioru pustego, relacji należenia i aksjomatów teorii mnogości.
Matematyków obchodzi tu jedynie fakt, że można w ten sposób (używając zbioru jako pojęcia pierwotnego) sformalizować matematykę. Nikt przy zdrowych zmysłach nie będzie uprawiał, dajmy na to, geometrii posługując się jedynie pojęciem zbioru, relacją należenia i wywodząc wszystkie twierdzenia wprost z aksjomatów teorii mnogości. Wcześniej (przed powstaniem aksjomatycznej teorii mnogości) próbowano oprzeć matematykę na pojęciach liczby i wielkości.
Aksjomaty teorii ZF są opisane poniżej.
Oprócz aksjomatów ZF rozważa się wiele innych, na przykład: Są to zdania, które są niezależne od aksjomatów teorii mnogości (czyli ani one ani ich negacje nie wynikają z aksjomatów ZF) i których założenie może matematykowi pomóc w wykazaniu, że jakieś rozważane przez niego zdanie nie jest sprzeczne z aksjomatami ZF.
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-01-21 06:13:16