Czytaj więcej"/> Drukuj
Przestrzeń metryczna to zbiór X z określoną na nim funkcją d, która każdym jego dwu elementom przypisuje liczbę rzeczywistą, w taki sposób, że dla każdych x, y, z ze zbioru X spełnione są następujące warunki: Funkcja d nazywana jest metryką lub odległością, zaś podane trzy warunki – warunkami albo aksjomatami metryki.
Pierwszy warunek mówi o tym, że odległość punktu od niego samego jest zerowa, zaś od dowolnego innego punktu – niezerowa. Drugi, że odległość dwóch punktów jest taka sama niezależnie od tego, czy liczymy ją począwszy od pierwszego, a skończywszy na drugim, czy odwrotnie. Trzeci warunek, tak zwana nierówność trójkąta, mówi tyle, że idąc bezpośrednio z jednego punktu do drugiego nie pokonamy większej odległości niż zahaczając po drodze o jakiś inny punkt. Każda funkcja posiadająca te własności jest metryką.
Z aksjomatów metryki wynika następująca własność metryki:
odległość jest nieujemna – dla każdych x, y jest d(x,y) ≥ 0.

Przestrzeń metryczną należy więc rozumieć jako uogólnienie przestrzeni euklidesowych (płaszczyzna, przestrzeń trójwymiarowa). Metryki można bowiem określać nie tylko na przestrzeniach euklidesowych, ale również na innych zbiorach (na przykład na zbiorze słów lub funkcji) lub na bardzo abstrakcyjnych przestrzeniach. Wprowadzając pojęcie odległości (metrykę) możemy wprowadzić również pojęcie granicy ciągu bądź funkcji, a zatem możemy uprawiać na nich analizę matematyczną.
Oto przykłady metryk na płaszczyźnie:
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-04-16 14:13:27