Pole powierzchni, czyli potocznie po prostu powierzchnia jakiejś figury jest pojęciem matematycznym dość trudnym do precyzyjnego zdefiniowania.

Konstrukcja pojęcia pola

Najczęstsza definicja (i jedna z najogólniejszych) odwołuje się do następującej konstrukcji:

1. Pokrywamy całą płaszczyznę, na której znajduje się dana figura, siatką przylegających kwadratów o bokach \[a_1 \].
2. Liczbę kwadratów mających choćby jeden punkt wspólny z figurą, której powierzchnię mierzymy, oznaczamy przez \[n_1 \].

Tworząc rozmaite siatki kwadratów o coraz to mniejszych bokach \[a_1>a_2>a_3>\ldots \], itd. uzyskujemy ciąg liczb \[n_1, n_2, ... \].
Polem powierzchni nazywamy granicę:
\[S=\lim_{i \to \infty}n_i~a_i^2 \]
Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, pola powierzchni nie da się obliczyć tą metodą.
Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę - choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować pole powierzchni: suma pól dwóch nie nachodzących na siebie figur może być większa niż pole figury powstałej z ich połączenia.
Przykład: zbiory
{(x,y): 0
oraz
{(x,y): 0
mają obydwa pole powierzchni równe 1, mają pustą część wspólną, a ich suma (czyli wnętrze kwadratu) również ma pole równe 1.
Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną figurę i która dla dwóch rozłącznych figur dawałaby wynik równy ich sumie.

Definicja szkolna

Definicja używana w szkołach podstawowych i średnich.

1. Obieramy kwadrat o boku 1.
2. Kwadrat ten zwany kwadratem jednostkowym jest jednostką pola.
3. Pole jest równe liczbie kwadratów jednostkowych lub jego części mieszczących się całkowicie w mierzonej figurze.

Pole pod krzywą

Pole między krzywą daną równaniem y=f(x) a osią OX ograniczone prostymi x=a i x=b jest równe całce oznaczonej
\[S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx \]

Pola typowych figur

• Równoległobok o bokach a i b oraz kącie α między nimi: S=ab sinα
• Prostokąt o bokach a i b: \[S=ab \]
• Kwadrat o boku a: \[S=a^2 \]
• Elipsa o półosiach a i b: \[S=\pi ab \]
• Koło o promieniu r: \[S=\pi r^2 \]
• Wielokąt foremny:
  \[S=\frac{nar}{2}=nr^2tg\frac{\pi}{n}=\frac{1}{2}nR^2sin\frac{2\pi}{n}=\frac{1}{4}na^2ctg\frac{\pi}{n} \]
• Trójkąt równoboczny:

\[S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \]