Czytaj więcej"/> Drukuj
Płaszczyzna – jedno z podstawowych pojęć pierwotnych geometrii Euklidesa i geometrii absolutnej.
Intuicja płaszczyzny wpajana jest człowiekowi kultury zachodniej od dziecka poprzez obrazowanie płaszczyzny jako karty papieru, powierzchni stołu, czy płaskiego pola rozciągających się "w nieskończoność".
W wielu innych geometriach, na przykład geometrii analitycznej, płaszczyzna nie jest pojęciem pierwotnym, lecz zbiorem punktów.

Własności

Podstawowe własności płaszczyzn opisują aksjomaty geometrii aboslutnej, inne są twierdzeniami, czyli wnioskami z aksjomatów. Obszary te nazywamy półprzestrzeniami – płaszczyzna jest brzegiem każdego z tych obszarów. Części te nazywane półpłaszczyznami. Dana prosta jest brzegiem każdej z dwu półpłaszczyzn.

Płaszczyzna euklidesowa

Jeżeli do listy wyżej wymienionych własności dodamy następujący aksjomat (tzw. V pewnik lub XI aksjomat Euklidesa):
przezez dowolny punkt płaszczyzny, nie należący do danej prostej leżącej na tej płaszczyźnie, można poprowadzić tylko jedną prostą do niej równoległą,
to otrzymamy pojęcie płaszczyzny euklidesowej. Z tym właśnie pojęciem zaznajamiamy się w szkole.

Opis w przestrzeni R3

R3 jest modelem dla geometrii euklidesowej i poniższy opis dotyczy oczywiście płaszczyzny euklidesowej.

Równanie ogólne

W przestrzeni euklidesowej R3 płaszczyzna jest zbiorem punktów, których współrzędne spełniają w danym kartezjańskim układzie współrzędnych zależność:
Ax + By + Cz + D = 0, przy czym liczby A, B, C nie mogą być jednocześnie równe zeru.
Jest to tak zwane równanie ogólne płaszczyzny. Wektor B, C jest wektorem normalnym do tej płaszczyzny.

Równanie normalne

Równanie normalne płaszczyzny, to równanie postaci:
αx + βy + γz + δ = 0, gdzie α2 + β2 + γ2 = 1.
Liczby α, β, γ interpretujemy jako cosinusy kierunkowe prostej prostopadłej do płaszczyzny. Przejście z postaci ogólnej do normalnej dają wzory:
\[\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}x+\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}y+ \]\[\frac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}z+\frac{D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=0 \]

Równanie odcinkowe

Do opisu płaszczyzny można też użyć równania odcinkowego:
\[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1. \]
Ma ono tę zaletę, że od razu daje punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych układu: są to punkty (a, 0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c).

Odległość punktu od płaszczyzny

Odległość punktu x o współrzędnych (x0, y0, z0) od płaszczyzny P zadanej równaniem ogólnym Ax + By + Cz + D = 0 obliczamy ze wzoru:
\[d(x, P)=\fracAx_0+By_0+Cz_0+D{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} \]
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-04-16 12:17:30