Czytaj więcej"/> Drukuj
Ogólna teoria względności (OTW) jest popularną nazwą dla teorii grawitacji opublikowanej przez Alberta Einsteina w 1915 roku. Zgodnie z ogólną teorią względności, siła grawitacji wynika z lokalnej geometrii czasoprzestrzeni. Aparat matematyczny tej teorii został opracowany w pracach takich matematyków jak János Bolyai, a także Carl Gauss. Ogólnie geometria nieeuklidesowa została rozwinięta przez ucznia Gaussa, Georga Bernharda Riemanna, ale nieeuklidesowa geometria czasoprzestrzeni stała się znana szerzej dopiero po tym, jak Einstein opracował szczególną teorię względności.
Teoria Einsteina zawiera nietrywianle treści fizyczne dotyczące koncepcji czasu, przestrzeni, geometrii czasoprzestrzeni, związków masy bezwładnej i ważkiej oraz spostrzeżenia dotyczące równoważności grawitacji i sił bezwładnosci. Jest ona uogólnieniem Szczególnej Teorii Względności obowiązującej dla inercyjnych układów odniesienia na dowolne, także nieinercyjne układy odniesienia. W warstwie matematycznej korzysta ona obficie z metod rachunku tensorowego, geometrii nieeuklidesowej, teorii przestrzeni Riemanna itp.

Droga do OTW, geometrie nieeuklidesowe

Gauss dostrzegł jako pierwszy, że geometria przestrzeni nie musi być euklidesowa. Zauważył on, że możliwe jest budowanie logicznie spójnej i prawidłowej z matematycznego punktu widzenia geometrii odrzucając piąty aksjomat Euklidesa o prostych równoległych. Nigdy jednak nie opublikował swoich przemyśleń na ten temat uważając, że nie zostaną właściwie zrozumiane. Gauss nie odnosił swoich idei do rzeczywistosci fizycznej a rozwijał je jedynie jako teorie matematyczne.
Za twórcę geometrii nieeuklidesowych uważa się współcześnie Janosa Bolyai, który jako pierwszy ogłosił prace w których podał przykłady tego rodzaju geometrii. Poważny wkład do tej dziedziny wniósł Georg Riemann konstruując swoja teorię rozmaitości różniczkowych. Bardzo istotną, choć czysto techniczną rolę otwierającą możliwości budowy OTW Einsteina odegrali Christofel, Ricci i inni twórcy rachunku tensorowego. Znaczący wkład należał zwłaszcza do Ricciego który udowodnił tożsamości nazwane jego imieniem.
W naszej codziennej rzeczywistości możemy także zaobserwować geometrie nieeuklidesowe. Na przykład powierzchnia Ziemi jest sferą i jako taka posiada pewną krzywiznę, zaś suma kątów w trójkątach na globusie nie jest wcale równa 180 stopni. Istnieją także pomiary, w przypadku których można bezpośrednio wykryć, że geometria czasoprzestrzeni jest nieeuklidesowa; przykładem jest doświadczenie Pounda-Rebki (1959), w którym wykryto zmianę długości fali światła pochodzącego od źródła kobaltowego, wznoszącego się przeciwko sile grawitacji na wysokość 22,5 metra, w szybie znajdującym się w Jefferson Physical Laboratory w Harvard University. Także zegary atomowe w satelitach GPS krążących wokół Ziemi muszą uwzględniać poprawkę związaną z efektami grawitacji. Przykłady te jednak nie były dostępne w czasach Gaussa i Riemana.

OTW Einsteina

Podstawową ideą teorii względności jest to, że nie możemy mówić o wielkościach fizycznych takich jak prędkość czy przyspieszenie, nie określając wcześniej układu odniesienia, oraz że układ odniesienia definiuje się poprzez wybór pewnego punktu w czasoprzestrzeni, z którym jest on związany. Oznacza to, że wszelki ruch określa się i mierzy względem innych określonych układów odniesienia. W ramach tej teorii, inaczej niz w szczególnej teoria względności, która podawała opis ruchu w inercjalnych (nie posiadających przyspieszenia) układach odniesienia, opis ruchu prowadzony jest w dowolnych układach odniesienia, inercjalnych lub nieinercjalnych. Podstawowym założeniem jest takie sformuowanie praw fizycznych i opisu ruchu aby miały one identyczną postać matematyczną bez względu na używany do opisu układ odniesienia, stąd konieczność zastosowania rachunku tensorowego.
OTW mówi, że z daną dokładnością można definiować jedynie lokalne układy odniesienia, dla skończonych okresów czasu i ograniczonych obszarów w przestrzeni. Jest to analogia z rysowaniem map fragmentów powierzchni Ziemi - nie można sporządzić mapy obejmującej całą powierzchnię Ziemi bez deformacji. Zasady dynamiki Newtona są w ogólnej teorii względności zachowane w lokalnych układach odniesienia. W szczególności cząstki, na które nie działa żadna siła, poruszają się po liniach prostych w lokalnych inercjalnych układach odniesienia. Jednak jeżeli linie te się przedłuży, to nie otrzymujemy linii prostych, lecz krzywe zwane geodezyjnymi. Dlatego też pierwsza zasada dynamiki Newtona zostaje zastąpiona przez zasadę poruszania się po geodezyjnej.
Odróżniamy inercjalne układy odniesienia, w których ciała fizyczne nie zmieniają swojego stanu ruchu, jeżeli nie oddziałują z żadnym innym ciałem fizycznym, od nieinercjalnych układów odniesienia, w których poruszające się ciała mają przyspieszenie pochodzące od układu odniesienia. W tych drugich pojawia się pozorna siła wynikająca z przyspieszenia samego układu odniesienia, a nie z oddziaływania z innym ciałem fizycznym. W związku z tym np. odczuwamy siłę odśrodkową wtedy, gdy samochód, będący naszym układem odniesienia, skręca. Podobnie obserwujemy siłę Coriolisa i siłę odśrodkową wtedy, gdy układem odniesienia jest ciało będące w ruchu obrotowym (na przykład bąk-zabawka lub Ziemia). Zasada równoważności w ogólnej teorii względności mówi, że w układzie lokalnym nie można przeprowadzić doświadczenia, dzięki któremu dałoby się odróżnić spadek swobodny w polu grawitacyjnym od ruchu jednostajnego przy braku pola grawitacyjnego. Mówiąc w skrócie, w układzie odniesienia związanym z ciałem spadającym swobodnie nie ma grawitacji. Oznacza to, że obserwowana na powierzchni Ziemi grawitacja jest siłą obserwowaną w układzie odniesienia związanym z materią na powierzchni, która nie jest "wolna", lecz na którą oddziałuje materia z wnętrza Ziemi i sytuacja ta jest analogiczna do sytuacji w skręcającym samochodzie.
Matematycznie, Einstein modeluje czasoprzestrzeń przy pomocy czterowymiarowej pseudo-riemannowskiej rozmaitości, a jego równanie pola mówi, że krzywizna rozmaitości w punkcie jest bezpośrednio związana z tensorem napięć-energii w tym punkcie; tensor ten jest miarą gęstości materii i energii. Krzywizna określa sposób, w jaki materia się porusza, a materia określa sposób, w jaki przestrzeń się zakrzywia. Równanie pola nie jest dowiedzione w sposób jednoznaczny i istnieje możliwość zaproponowania innych modeli, pod warunkiem, że nie będą stały w sprzeczności z obserwacjami.
Ogólna teoria względności wyróżnia się spośród innych teorii grawitacji swoją prostotą powiązania materii i krzywizny, chociaż wciąż nie istnieje teoria unifikacji pomiędzy ogólną teorią względności, a mechaniką kwantową i nie umiemy zastąpić równania pola bardziej ogólnym prawem kwantowym. Niewielu fizyków wątpi w to, że taka teoria wszystkiego będzie zawierała w sobie ogólną teorię względności, tak jak ogólna teoria względności zawiera w sobie prawo powszechnego ciążenia Newtona w zakresie nierelatywistycznym.
Równanie pola Einsteina zawiera parametr zwany stałą kosmologiczną Λ, która została wprowadzona przez Einsteina po to, aby Wszechświat pozostał statyczny (tzn. nierozszerzający i niezapadający się). Ta próba zakończyła się niepowodzeniem z dwóch powodów: statyczny Wszechświat opisywany przez tę teorię byłby niestabilny, co więcej, obserwacje prowadzone przez Hubble'a dekadę później pokazały, ze nasz Wszechświat nie jest statyczny, lecz się rozszerza. Dlatego też zrezygnowano ze stałej Λ, lecz ostatnie obserwacje supernowych typu Ia wskazują na to, że być może należy ją ponownie wprowadzić do równań.

Równania teorii

Ogólna teoria względności wiąże geometrię czasoprzestrzeni z rozkładem materii. Czasoprzestrzeń jest zbiorem punktów (dokładniej rozmaitością różniczkową) której punktom przyporządkowuje się cztery współrzędne \[x^{\mu}=\{ x^0=ct,x^1,x^2,x^3\} . \] Odległość między dwoma punktami o współrzędnych \[x^{\mu} \] i \[x^{\mu}+dx^{\mu} \] zadaje:
\[ ds^2=g(x)_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu} \]
Gdy czasoprzestrzeń jest globalnie płaska - teoria przechodzi w szczególną teorię względności. W tym przypadku tensor metryczny
\[ g_{\mu \nu}=\eta_{\mu \nu}=\begin{pmatrix}1 & 0& 0&0\\0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix} \]
opisuje czasoprzestrzeń Minkowskiego. Poczucie lokalnej płaskości zakrzywionej czasoprzestrzeni (zasada równoważności) oznacza możliwość przejścia do takiego układu współrzędnych by
\[ g_{\mu \nu}=e^{a}_{\mu} e^{b}_{\nu} \eta_{a b}, \]
Pola \[e^{a}_{b}(x) \] nazywamy polami reperów. Cała informacja o zakrzywieniu czasoprzestrzeni zawarta jest w tych polach.Z punktu widzenia matematycznego pola reperów są formami różniczkowymi.
 \[e^a=e^a_{\mu} dx^{\mu}. \]
Formy te można przeskalować (lokalna transformacja cechowania) a tensor metryczny nie ulega zmianie
 \[e^a \rightarrow e'^{a}=\Lambda^a_{b} e^b \]
gdzie Λ są macierzami Lorentza tworzącymi grupę Lorentza. Linie najkrótsze łączące dwa punkty (linie geodezyjne) nie są już liniami prostymi. Spełniają one równanie
\[\frac{d^2 x^{\lambda}}{ds^2}+\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds}=0 \]
gdzie \[\Gamma \] jest symbolem Christoffela
\[\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda \rho}(\partial_{\mu}g_{\rho \nu}+\partial_{\nu}g_{\rho \mu}-\partial_{\rho}g_{\mu \nu}) \]
W czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie symbole Christoffela się zerują i linie najkrótsze są prostymi.
Zakrzywienie czasoprzestrzeni określa tensor krzywizny \[R^{\lambda}_{\mu \nu \rho} \] i związany z nim tensor krzywizny Ricciego
\[R_{\mu \nu}=\partial_{\nu}\Gamma^{\lambda}_{\mu \lambda}-\partial_{\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} \]
\[ -\Gamma^{\rho}_{\mu \nu}\Gamma^{\sigma}_{\rho \sigma}+ \Gamma^{\rho}_{\mu \sigma} \Gamma^{\sigma}_{\nu \rho} \]
oraz skalar krzywizny Ricciego \[R=g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} \]. Oczywiście w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego wszystkie te wielkości są równe zero. Równanie Einsteina opisuje związek między zakrzywieniem czasoprzestrzeni (grawitacją) (tensorem metrycznym \[g_{\mu \nu} \] a rozkładem materii opisanej tensorem energii-pędu \[T_{\mu \nu} \]. Równanie Einsteina można wyprowadzić z ekstremum całki działania dla pola grawitacyjnego. Równanie to ma następująca postać:
\[R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu} = - \frac{8 \pi}{c^4} G T_{\mu \nu} \]
gdzie: \[R_{\mu \nu} \] - tensor krzywizny Ricciego, \[R \] - skalar krzywizny Ricciego, \[g_{\mu \nu} \] - tensor metryczny, Λ - stała kosmologiczna, \[T_{\mu \nu} \] - tensor energii-pędu, π - liczba pi, c - prędkość światła w próżni, G - stała grawitacji. Natomiast \[g_{\mu \nu} \] opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 x 4, ma więc 10 niezależnych składowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.
Materia (wszystko co żyje w czasoprzestrzeni) opisywane jest przez tensor energii-pędu
\[T_{\mu \nu}=(\epsilon+P)u_{\mu}u_{\nu}-g_{\mu \nu}P \]
gdzie u jest wektorem jednostkowym \[u_{\mu}u^{\mu}=1 \],\[\epsilon \] jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.
W próżni gdy \[\epsilon =0 \] i P=0 rozwiązaniem równań Einsteina jest przestrzeń Ricci płaska (\[R_{\mu \nu}=0 \], np. przestrzeń Minkowskiego ale również rozwiązanie z metryką Karla Schwarzschilda). Jeżeli układ fizyczny opisuje ciało masywne a ciśnienie jest niewielkie, wtedy \[\epsilon=\rho c^2 \] i źródłem grawitacji jest tylko rozkład masy \[\rho \]. W granicy gdy prędkość światła c dąży do nieskończoności, otrzymujemy teorię grawitacji Newtona.
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-03-02 11:10:19