Liczba naturalna

Liczby naturalne – liczby używane powszechnie do liczenia (na obiedzie były trzy osoby) i ustalania kolejności (był trzeci na liście). Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbadziej abstakcyjnych pojęć jakie wytworzyła ludzkość, wydaje się jednak, że niewiedza na temat czym liczby są nie przeszkadza nam sprawnie się nimi posługiwać.
Badaniem własności liczb naturalnych zajmuje się teoria liczb, badaniem problemów związanych z liczeniem – kombinatoryka.
Zazwyczaj mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby 1, 2, 3, 4..., czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że liczba 0 jest również liczbą naturalną. Tak robi się na przykład w informatyce i teorii mnogości.

Historia

Liczby naturalne (bez zera) początkowo były stosowane wyłącznie do określania liczebności obiektów.
Pierwszy krok dla wyabstrahowania liczb naturalnych to stworzenie cyfr na określenie danych wartości liczb. Przykładowo w Babilonii stosowano cyfry o wartościach od 1 do 10, zaś o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10 aż do miliona.
Znacznie później pojawiło się zero jako oddzielna wartość. Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który stworzył je w 628. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae.
Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się Greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej.
Dopiero w XIX w. pojawiła się ścisła, teoriomnogościowa definicja zbioru liczb naturalnych. Zgodnie z nią, zero jako odpowiednik zbioru pustego jest najmniejszym elementem tego zbioru. Wielu matematyków, szczególnie w teorii liczb jednak wyłącza tę liczbę ze zbioru liczb naturalnych.

Postulaty Peano

Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych nie było proste i zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać zdefiniowany zbiór liczb naturalnych, aby ta definicja była prawidłowa:

Istnieje liczba naturalna 0;
Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany \[S(a) \];
Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej;
Różne liczby naturalne mają różne następniki: \[ a \not = b \Rightarrow S(a) \not = S(b) \];
Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Ostatnia z własności oznacza, że każda liczba naturalna poza zerem jest następnikiem jakiejś liczby naturalnej.
Okazuje się, że powyższe postulaty pozwalają wprowadzić arytmetykę. Dodawanie definiujemy jak operację spęłniającą następujace warunki:

\[a+0=a\; \]
\[a+S(b)=S(a)+b\; \]

To wystarczy do wyliczenia sumy liczb np. 2+2 (dwa oznacza skrótowy zapis liczby S(S(0))). kolejno otrzymujemy:

2+2
2+S(1) bo 2 jest następnikiem 1
S(2)+1 z definicji
3+1 następnik 2 oznaczamy symbolem 3
3+S(0) 1 jest następnikiem 0
S(3)+0=S(3) z definicji
S(3)=4 następnik 3 oznaczamy symbolem 4

Podobnie definiujemy mnożenie jako operację spełniającą warunki:

a*0=0
a*S(b)=(a*b)+a

Powyższe postulaty mówią jakie własności powinny mieć liczby naturalne. Pozostaje pytanie czy taki "twór" istnieje. Okazuje się, że przy założeniu aksjomatów teorii mnogości można skonstruować zbiór liczb naturalnych. Taką konstrukcję przedstawia poniższa

Konstrukcja von Neumanna

Jest to przykład możliwej konstrukcji zbioru liczb naturalnych, nie jedynej, ale jednej z ważniejszych. Tak skonstruowany zbiór oczywiście spełnia aksjomaty Peano. Amerykański matematyk John von Neumann zaproponował następujący sposób konstrukcji liczb naturalnych:
Niech X - zbiór induktywny.
Niech \[ P = \{Y \subset X: Y - induktywny\} \]. \[\cap P \] to zbiór induktywny (dowód przy aksjomacie nieskończoności). Pokażmy, że jest to najmniejszy w sensie inkluzji zbiór induktywny.
Niech Z - zbiór induktywny. To \[\cap P \cap Z \] też jest zbiorem induktywnym, bo to przecięcie zbiorów induktywnych. \[\cap P \cap Z \subset \cap P \] (z własności iloczynu) \[\wedge \cap P \subset X \]. Skoro tak, to \[\cap P \cap Z \in P \Rightarrow \cap P \subset \cap P \cap Z \Rightarrow \cap P \subset Y \] - co kończy dowód.
Zbiór ten istotnie jest najmniejszy, jest więc jedyny. Nazwiemy go liczbami naturalnymi i oznaczymy przez \[\mathbb{N} \].
Korzystając z faktu induktywności \[\mathbb{N} \]:

\[\empty \in \mathbb{N} \] - oznaczamy jako 0;
\[S(\empty) = \{\empty\} \] - oznaczamy jako 1;
\[S(\{\empty\}) = \{\empty ,\{\empty\}\} \] - oznaczamy jako 2;

i tak dalej.
W teorii mnogości na każdą liczbę naturalną patrzymy jak na zbiór zawierający wszystkie poprzednie liczby naturalne, np. 2 = {0,1}, 5 = {0,1,2,3,4} itp.

Podstawowe własności

Dla wszystkich liczb naturalnych:

jeśli m < n to m <= n;
~(n < n);
jeśli m <= n i ~(m = n) to m < n;
jeśli S(m) = S(n) to m = n;
jeśli n <= k <= S(n) to k=n lub k=S(n)
m <= n lub n <= m (porządek);
m = n lub n < m lub m < n.

Uogólnienia

Stworzono rozmaite rozszerzenia pojęcia liczb naturalnych. Najbardziej oczywistymi są liczby całkowite, liczby wymierne i liczby rzeczywiste.
Innym uogólnieniem pojęcia liczby naturalnej jest liczba kardynalna. Liczba kardynalna zbioru opisuje jego moc – liczby naturalne są liczbami kardynalnymi zbiorów skończonych.
Kolejnym, ważnym rozszerzeniem są liczby p-adyczne, w których rozszerza się pojęcie systemu liczbowego na "liczby" o nieskończonej ilości cyfr.
Liczby naturalne są szczególnym przypadkiem:

Szczególnym przypadkiem liczb naturalnych są: