Czytaj więcej"/> Drukuj
Indukcja matematyczna to w postaci najogólniejszej rozumowanie przeprowadzane na zbiorach z porządkiem dobrze ufundowanym. Zasada indukcji głosi, że jeśli pewna własność ma miejsce dla wszystkich elementów minimalnych oraz z tego, że tę własność mają wszystkie elementy mniejsze od danego, wynika, że ma ją też ten element, to własność tę mają wszystkie elementy zbioru.
Dwa szczególne przypadki indukcji to indukcja na zbiorze liczb naturalnych oraz indukcja strukturalna.
Zasadę indukcji matematycznej na zbiorze liczb naturalnych można sformułować następująco: to wszystkie liczby naturalne mają tę własność.
Drugie z powyższych założeń można też zastąpić przez następujące:

Przykład

Obecnie udowodnimy, że
\[1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}. \]
Dla \[n=0 \] jest to prawda, bo
\[0 = \frac{0\times 1}{2}. \]
Dla \[n+1 \] teza indukcyjna przybiera postać
\[1 + 2 + \cdots + n + (n + 1)= \frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}, \]
\[1 + 2 + \cdots + n + (n + 1)= \frac{n(n+1)}{2} + (n + 1). \]
Korzystając z założenia indukcyjnego dla \[n \], stwierdzamy, że powyższy wzór jest prawdziwy również dla \[n+1 \]. W ten sposób dzięki zasadzie indukcji matematycznej udowodniliśmy prawdziwość naszego wzoru dla wszystkich liczb naturalnych.
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2020-04-05 20:36:32