Czytaj więcej"/> Drukuj
Transformacje Galileusza
\[x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j +v^i t +x^i_0 \]
\[t \rightarrow t'=t+t_0 \]
zachowują strukturę czasoprzestrzeni Galileusza, tworzą one grupę Galileusza. Transformacje te są parametryzowane przez macierz obrotu \[R^i_j \], prędkość \[v^i \], translację w przestrzeni \[x^i_0 \] i czasie \[t_0 \].
Macierze obrotu same tworzą grupę O(3), spełniają warunek zachowania długości wektora przy obrotach
\[x^i \rightarrow {x'}^i = R^i_j x^j , \]
\[\sum_{i}^3 (x^i)^2 = \sum_{i}^3 ({x'}^i)^2 \]
Daje to warunek
\[R^{T} R =I \]
gdzie macierz transponowana \[(R^T)^i_j=R^j_i \]. Ponieważ macierz odwrotna spełnia \[R^{-1}R=I \], to dla grupy obrotów \[R^{-1}=R^{T} \]. W zbiorze macierzy ortogonalnych SO(3) istnieje element neutralny (macierz jednostkowa I), element odwrotny \[R^{-1}R=I \] i mnożenie dwóch macierzy ortogonalnych jest macierza ortogonalną. Zbiór macierzy ortogonalnych tworzy grupę. Dodatkowy warunek \[det(R)=1 \] definiuje podgrupę obrotów SO(3). Element grupy R można parametryzować w sposób ciagły przez trzy parametry (wektor \[\alpha^i=\omega^i \psi \], oś obrotu \[\omega^i \] i kat obrotu ψ ).
\[R=e^{i\sum_{a}^{3}T^a \alpha^a} \]
. Trzy macierze \[T^a \] nazywamy generatorami grupy obrotów. Gropa obrotów SO(3) jest ciagłą grupą Liego
Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa właściwych transformacji Galileusza
\[x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +v^i t +x^i_0 \]
\[t \rightarrow t'=t+t_0 \]
Parametryzowana jest przez 7 parametrów: vektor v translację w przestrzeni i w czasie \[T_0 \].
Podgrupą grupy Galileusza jest podgrupa translacji
\[x^i \rightarrow {x'}^i = x^i +x^i_0 \]
\[t \rightarrow t'=t+t_0 \]
Podgrupa ta parametryzowana jest przez cztery parametry.
Grupa Galileusza parametryzowana jest przez 10 ciagłych parametrów. Zgodnie z twierdzeniem Noether gdy grupa ta jest symetrią równań ruchu układu fizycznego odpowiada jej istnienie 10 odpowiednich praw zachowania (np. energii z translacji w czasie, pędu z translacji w przestrzeni, momentu pędu z symetrii obrotowej i pędu środka masy z transformacji własciwej generowanej przez v.
Materiał wydrukowany z portalu zgapa.pl dnia 2021-03-08 08:33:12